Questão 1. Considere a seguinte função
. Sabe-se que essa função possui uma única raiz no intervalo
. Responda as seguintes questões, apresentando os resultados com arredondamento de 6 casas decimais.
lo a) Escreva a função de iteração para o método de Newton-Raphson que gera aproximações dos zeros de
;
b) Determine três iterações do método de Newton-Raphson a partir do ponto médio do intervalo [0,4; 1,0];
c) Quantas iteradas seriam necessárias utilizar no método da bisseção; a partir do intervalo
, para garantir um erro menor que o valor obsoluto da diferença entre os dois últimos valores obtidos pelo método de Newton-Raphson no item b?
lo a) Escreva a função de iteração para o método de Newton-Raphson que gera aproximações dos zeros de
b) Determine três iterações do método de Newton-Raphson a partir do ponto médio do intervalo [0,4; 1,0];
c) Quantas iteradas seriam necessárias utilizar no método da bisseção; a partir do intervalo
Passo 1
O enunciado dá a função
e o intervalo
(ou seja,
com vírgulas como separador decimal — aqui interpretamos como o intervalo
, ou seja
cujo ponto médio é
). O enunciado pede três coisas:
a) escrever a função de iteração do método de Newton–Raphson que gera aproximações dos zeros de ;
b) a partir do ponto médio do intervalo (ou seja,
), realizar três iterações do método de Newton–Raphson e apresentar os resultados com 6 casas decimais;
c) determinar quantas iterações do método da bisseção, partindo do mesmo intervalo, seriam necessárias para garantir um erro menor que o valor absoluto da diferença entre os dois últimos valores obtidos no item b).
Informações relevantes listadas: a função (valores com vírgula decimal), o intervalo
, e a precisão pedida (arredondamento de 6 casas decimais).
a) escrever a função de iteração do método de Newton–Raphson que gera aproximações dos zeros de
b) a partir do ponto médio do intervalo
c) determinar quantas iterações do método da bisseção, partindo do mesmo intervalo, seriam necessárias para garantir um erro menor que o valor absoluto da diferença entre os dois últimos valores obtidos no item b).
Informações relevantes listadas: a função
Passo 2
O método de Newton–Raphson (explicação didática curta): para achar uma raiz
de uma função
, partimos de uma aproximação inicial
e usamos a reta tangente em
para obter uma nova aproximação
. A fórmula geral é
Aqui
é a derivada de
em
. Cada iteração costuma convergir rapidamente quando a aproximação inicial está razoavelmente próxima da raiz. Explico cada símbolo:
é a aproximação atual,
a próxima;
é o valor da função em
;
é a derivada em
(a inclinação da tangente).
Para a nossa função
calculamos a derivada:
Portanto a função de iteração específica para este
é
Passo 3
Preparação para as iterações: o ponto médio do intervalo
é
Vamos aplicar a fórmula do Newton três vezes começando em
. Em cada passo vou mostrar o cálculo de
, de
, e a atualização
. No final arredondamos os
para 6 casas decimais conforme pedido.
Passo 4
Cálculo de
a partir de
.
Calcule
:
Calcule
:
Agora a iteração:
Arredondando para 6 casas decimais:
.
Passo 5
Cálculo de
a partir de
.
Primeiro calculamos
e
(mostro aproximado para acompanhar):
Agora
:
E
:
Atualização:
Arredondando para 6 casas decimais:
.
Passo 6
Cálculo de
a partir de
.
Calculamos
e
(aproximadamente):
Então
E
Atualização:
Arredondando para 6 casas decimais:
.
Passo 7
Agora usamos a diferença entre os dois últimos valores de Newton para o item (c). A diferença (valor absoluto) é
No método da bisseção: após
iterações o comprimento do intervalo restante é
(onde
é o comprimento inicial). A máxima distância entre o ponto médio final e a raiz (o erro máximo) é metade desse comprimento, isto é
Aqui
. Queremos
. Substituindo
obtemos
Tomando logaritmo em base 2,
Logo
, e o menor inteiro
que satisfaz a condição é
. Verificação rápida: com
o erro máximo da bisseção é
que é menor que
; com
o erro máximo seria
, que ainda é maior, portanto 11 iterações são necessárias e suficientes.
Resposta
(a)
(b)
(c)