Conceitue e diferencie: interpolação e aproximação (regressão).

Passo 1

O enunciado pede para conceituar dois métodos de ajuste de funções a um conjunto de dados: interpolação e aproximação (regressão). O tema envolve técnicas de Análise Numérica usadas para reconstruir ou ajustar curvas a pontos conhecidos.

Passo 2

Interpolação é o processo de construir uma função f, geralmente um polinômio ou spline, que passa exatamente por todos os pontos dados (x_i, y_i). Em outras palavras, para cada par de dados temos a condição
$$
f(x_i)=y_i,$$
e escolhemos f de modo que essa igualdade seja satisfeita para todo i. Exemplos clássicos são o polinômio de Lagrange e o método de Newton.

Passo 3

Aproximação ou regressão busca uma função f, muitas vezes de forma simples (reta, polinomial de grau baixo, exponencial etc.), que não necessariamente passa por todos os pontos, mas minimiza algum critério de erro, tipicamente o erro quadrático total
S(f)=sumi=1^n ail(f(xi)-yir)^2
. O ajuste por mínimos quadrados é o caso mais comum de regressão.

Passo 4

Comparando os dois métodos temos:
• Ajuste exato vs. ajuste por critério de erro: interpolação força f(x_i)=y_i, enquanto regressão busca o melhor “encaixe”, podendo ignorar ruídos nos dados.
• Sensibilidade ao ruído: interpolação sofre com oscilações indesejadas (efeito Runge) se há erros nos y_i; regressão tende a filtrar ruído ajustando uma curva mais suave.
• Finalidade: interpolação serve para reconstruir funções conhecidas em pontos intermédios; regressão serve para modelagem estatística, previsão e análise de tendência.

Passo 5

Em resumo, interpolação garante encaixe exato nos pontos de dados, mas pode oscilar demais se os dados forem ruidosos ou o grau polinomial for alto. Já a aproximação/regressão busca o melhor ajuste global, tolerando pequenos desvios em cada ponto para reduzir o erro total e filtrar ruídos.

Resposta

Interpolação: constrói uma função que passa exatamente por cada ponto (f(x_i)=y_i), ideal para reconstruir curvas sem ruído, mas sensível a oscilações em dados ruidosos. Aproximação/Regressão: ajusta uma função que minimiza um critério de erro (por exemplo, soma dos quadrados dos resíduos), não necessariamente passando por todos os pontos, o que reduz o efeito do ruído e é útil para modelagem e previsão.

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