Encontre as formas do polinômio interpolador de Lagrange e de Newton para os pontos a seguir:
X 3 -1 1 2 5
Y 2 1 2 -7 20

Passo 1

Temos cinco pontos dados: (3,2), (−1,1), (1,2), (2,−7) e (5,20). O objetivo é obter o polinômio interpolador de grau ≤4 por dois métodos clássicos de interpolação polinomial – Lagrange e Newton. Para Lagrange vamos usar as bases L_i(x) e para Newton vamos montar a tabela de diferenças divididas.

Passo 2

Pelo método de Lagrange, definimos
PL(x)=sumi=0^4 yi,Li(x),
onde
Li(x)=prodsubstackj=0 jneq i^4 x - xjxi - xj
Calculando cada L_i(x) para os pontos x0=3,x1=-1,x2=1,x3=2,x4=5 e seus respectivos yi, obtemos
L0(x)=-tfrac116(x+1)(x-1)(x-2)(x-5),
L1(x)=tfrac1144(x-3)(x-1)(x-2)(x-5),
L2(x)=-tfrac116(x-3)(x+1)(x-2)(x-5),
L3(x)=tfrac19(x-3)(x+1)(x-1)(x-5),
L4(x)=tfrac1144(x-3)(x+1)(x-1)(x-2)
Logo
PL(x)=2L0(x)+1L1(x)+2L2(x)-7L3(x)+20L4(x)

Passo 3

Para o método de Newton, tomamos a sequência de abscissas na ordem dada: x0=3,x1=-1,x2=1,x3=2,x4=5. Calculamos as diferenças divididas de primeira a quarta ordem; o polinômio fica
PN(x)=a0+a1(x-3)+a2(x-3)(x+1)+a3(x-3)(x+1)(x-1)+a4(x-3)(x+1)(x-1)(x-2),
onde
a0=2,
a1=tfrac14,
a2=-tfrac18,
a3=tfrac7324,
a4=-tfrac127144

Resposta

Polinômio interpolador de Lagrange:
PL(x)=-18(x+1)(x-1)(x-2)(x-5)+1144(x-3)(x-1)(x-2)(x-5)-18(x-3)(x+1)(x-2)(x-5)-79(x-3)(x+1)(x-1)(x-5)+536(x-3)(x+1)(x-1)(x-2)
Polinômio interpolador de Newton:
PN(x)=2+14(x-3)-18(x-3)(x+1)+7324(x-3)(x+1)(x-1)-127144(x-3)(x+1)(x-1)(x-2)

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