Obtenha o polinômio de Taylor de grau três (três primeiros termos não nulos)
, em torno de
, para a seguinte função. Avalie, então, a função,
, e o respectivo polinômio de Taylor,
, para
:
Passo 1
O enunciado pede o polinômio de Taylor de grau três (três primeiros termos não nulos) de f(x)=sin(x)·cos(x) em torno de x₀=0 e, em seguida, a avaliação de f(x) e desse polinômio para x=0,1 e x=1. Para isso vamos usar a definição de série de Taylor e uma identidade trigonométrica que simplifica f(x).
Passo 2
Para facilitar a expansão, recordemos a identidade trigonométrica
sin(x)·cos(x)=\tfrac12·sin(2x).
Assim podemos expandir sin(2x) em série de Taylor e depois multiplicar por 1/2.
sin(x)·cos(x)=\tfrac12·sin(2x).
Assim podemos expandir sin(2x) em série de Taylor e depois multiplicar por 1/2.
Passo 3
A série de Taylor de sin(u) em torno de u=0 é
Substituindo u=2x, obtemos
Passo 4
Multiplicando por 1/2, o polinômio de Taylor de grau três (os três primeiros termos não nulos) fica
Passo 5
Agora avaliamos em x=0,1:
– f(0,1)=sin(0,1)·cos(0,1)≈0,0998334·0,9950042≈0,0993330
– P_3(0,1)=0,1-\tfrac{2}{3}(0,1)^3=0,1-\tfrac{2}{3}·0,001=0,1-0,0006667≈0,0993333
– f(0,1)=sin(0,1)·cos(0,1)≈0,0998334·0,9950042≈0,0993330
– P_3(0,1)=0,1-\tfrac{2}{3}(0,1)^3=0,1-\tfrac{2}{3}·0,001=0,1-0,0006667≈0,0993333
Passo 6
E em x=1:
– f(1)=sin(1)·cos(1)≈0,84147098·0,54030231≈0,4546487
– P_3(1)=1-\tfrac{2}{3}·1^3=1-\tfrac{2}{3}=\tfrac{1}{3}≈0,3333333
– f(1)=sin(1)·cos(1)≈0,84147098·0,54030231≈0,4546487
– P_3(1)=1-\tfrac{2}{3}·1^3=1-\tfrac{2}{3}=\tfrac{1}{3}≈0,3333333
Resposta
O polinômio de Taylor de grau três é
$$P_3(x)=x-\tfrac{2}{3}x^3.
$$
Para x=0,1: f(0,1)≈0,0993330 e P_3(0,1)≈0,0993333.
Para x=1: f(1)≈0,4546487 e P_3(1)=1/3≈0,3333333.
Para x=0,1: f(0,1)≈0,0993330 e P_3(0,1)≈0,0993333.
Para x=1: f(1)≈0,4546487 e P_3(1)=1/3≈0,3333333.