Seja
uma sequência de polinômios, todos de grau no máximo
e tais que
para todo
. Usando a formula de interpolação de Lagrange, provar que esta sequência possui uma subsequência
cujo limite e um polinômio de grau n, isto e, que
, quando
, para todo
, onde
.
Passo 1
Primeiro, recapitulemos o que foi pedido: temos uma sequência $,P_i(x)$ de polinômios de grau no máximo \
$n$\, todos satisfazendo \
$|P_i(x)|\le1$\ em \
$[a,b]$\. Precisamos mostrar que existe uma subsequência que converge ponto a ponto em \
$[a,b]$\ a um polinômio \
$f(x)$ de grau ≤$n$. Vamos usar a fórmula de interpolação de Lagrange e o teorema de Bolzano–Weierstrass.
$n$\, todos satisfazendo \
$|P_i(x)|\le1$\ em \
$[a,b]$\. Precisamos mostrar que existe uma subsequência que converge ponto a ponto em \
$[a,b]$\ a um polinômio \
$f(x)$ de grau ≤$n$. Vamos usar a fórmula de interpolação de Lagrange e o teorema de Bolzano–Weierstrass.
Passo 2
Para aplicar Lagrange, escolhemos \
$n+1$\ pontos distintos \
$x_0,x_1,\dots,x_n$\ em \
$[a,b]$. Então, para cada \
$i$, podemos escrever
$n+1$\ pontos distintos \
$x_0,x_1,\dots,x_n$\ em \
$[a,b]$. Então, para cada \
$i$, podemos escrever
Passo 3
block1
Resposta
O polinômio limite é \
$
\onde \
$\alpha_j=\lim_{k\to\infty}P_{i_k}(x_j)$ e \
$L_j(x)$ são as funções de base de Lagrange. Esse \
$f(x)$ tem grau ≤ n e \
$P_{i_k}(x)$ convergem ponto a ponto para ele em \
$[a,b]$.
$\alpha_j=\lim_{k\to\infty}P_{i_k}(x_j)$ e \
$L_j(x)$ são as funções de base de Lagrange. Esse \
$f(x)$ tem grau ≤ n e \
$P_{i_k}(x)$ convergem ponto a ponto para ele em \
$[a,b]$.