Seja n uma sequência de polinômios, todos de grau no máximo x in[a, b] e tais que Pik(x) f(x) para todo k infty. Usando a formula de interpolação de Lagrange, provar que esta sequência possui uma subsequência x in[a, b] cujo limite e um polinômio de grau n, isto e, que f in pin, quando , para todo , onde .

Passo 1

Primeiro, recapitulemos o que foi pedido: temos uma sequência $,P_i(x)$ de polinômios de grau no máximo \
$n$\, todos satisfazendo \
$|P_i(x)|\le1$\ em \
$[a,b]$\. Precisamos mostrar que existe uma subsequência que converge ponto a ponto em \
$[a,b]$\ a um polinômio \
$f(x)$ de grau ≤$n$. Vamos usar a fórmula de interpolação de Lagrange e o teorema de Bolzano–Weierstrass.

Passo 2

Para aplicar Lagrange, escolhemos \
$n+1$\ pontos distintos \
$x_0,x_1,\dots,x_n$\ em \
$[a,b]$. Então, para cada \
$i$, podemos escrever

Passo 3

block1

Resposta

O polinômio limite é \
$ f(x)=sumj=0^nalphaj,Lj(x),\onde \
$\alpha_j=\lim_{k\to\infty}P_{i_k}(x_j)$ e \
$L_j(x)$ são as funções de base de Lagrange. Esse \
$f(x)$ tem grau ≤ n e \
$P_{i_k}(x)$ convergem ponto a ponto para ele em \
$[a,b]$.

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