Prove que
para todo número natural
e para
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
[
\sum_{j=0}{n}(-1){n-j}\binom{n}{j}\binom{m+j}{k}=0
]
para todo natural e
. O tema aqui é diferenças finitas e propriedades de somas alternadas de binomiais aplicadas a polinômios em
. Vamos usar o fato de que
é polinômio em
de grau
e que a soma alternada de ordem
de um polinômio de grau menor que
é zero.
[
\sum_{j=0}{n}(-1){n-j}\binom{n}{j}\binom{m+j}{k}=0
]
para todo natural
Passo 2
Definimos a função
[
f(j)=\binom{m+j}{k}.
]
Note que ao expandir o binomial temos um produto de fatores lineares em
, logo
é um polinômio em
de grau
. Como
, concluímos que
.
[
f(j)=\binom{m+j}{k}.
]
Note que ao expandir o binomial temos um produto de
Passo 3
Recordamos a definição da diferença finita de ordem
em zero de uma função
:
[
\Delta^n f(0)=\sum_{j=0}n(-1){n-j}\binom{n}{j}f(j).
]
Um resultado clássico de cálculo discreto diz que se é um polinômio de grau menor que
, então
.
[
\Delta^n f(0)=\sum_{j=0}n(-1){n-j}\binom{n}{j}f(j).
]
Um resultado clássico de cálculo discreto diz que se
Passo 4
Aplicando esse resultado à função
, que tem grau
, obtemos
[
\sum_{j=0}{n}(-1){n-j}\binom{n}{j}\binom{m+j}{k}=\Delta^n f(0)=0
]
valendo para todo e
.
[
\sum_{j=0}{n}(-1){n-j}\binom{n}{j}\binom{m+j}{k}=\Delta^n f(0)=0
]
valendo para todo
Resposta
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