Prove que
sumj=0^n(-1)^n-jbinomnjbinomm+jk=0
para todo número natural m e para k=0,1, ldots, n-1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
[
\sum_{j=0}{n}(-1){n-j}\binom{n}{j}\binom{m+j}{k}=0
]
para todo natural m e k=0,1,dots,n-1. O tema aqui é diferenças finitas e propriedades de somas alternadas de binomiais aplicadas a polinômios em j. Vamos usar o fato de que binomm+jk é polinômio em j de grau k e que a soma alternada de ordem n de um polinômio de grau menor que n é zero.

Passo 2

Definimos a função
[
f(j)=\binom{m+j}{k}.
]
Note que ao expandir o binomial temos um produto de k fatores lineares em j, logo f(j) é um polinômio em j de grau k. Como k<= n-1, concluímos que deg f.

Passo 3

Recordamos a definição da diferença finita de ordem n em zero de uma função f:
[
\Delta^n f(0)=\sum_{j=0}n(-1){n-j}\binom{n}{j}f(j).
]
Um resultado clássico de cálculo discreto diz que se f é um polinômio de grau menor que n, então De.

Passo 4

Aplicando esse resultado à função f(j)=binomm+jk, que tem grau , obtemos
[
\sum_{j=0}{n}(-1){n-j}\binom{n}{j}\binom{m+j}{k}=\Delta^n f(0)=0
]
valendo para todo minN e k=0,1,dots,n-1.

Resposta

0

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