Então, o exercício pede três coisas bem diferentes mas conectadas por interpolação de Lagrange:
Calcular o polinômio que interpola nos pontos .
Estimar o erro para , usando a fórmula do resto da interpolação.
Comparar esse erro com o erro de uma máquina que calcula com precisão de 0{,}001 e trabalhando com 3 algarismos significativos.
O conteúdo envolve:
Fórmula de Lagrange para montar .
Fórmula do resto .
Noções de arredondamento e comparação de erros.
Passo 2
Vamos montar o polinômio de Lagrange:
Em geral,
onde
Aqui , e
Calculando cada :
Mas como , o termo some.
Logo,
Passo 3
Teoria do erro: para interpolação de grau 3 em nós ,
para algum . Como e ,
O máximo de em é .
Então
Passo 4
Agora, a máquina tem erro 0,000482 + 0,0005 = 0,000982 < 0,001 . Nosso erro de interpolação máximo é .
Se ainda arredondarmos cada valor de para 3 algarismos significativos, o erro de arredondamento adicional é da ordem de metade do último dígito, ou seja, .
Somando ambos (pior caso),
Portanto, mesmo com arredondamento a 3 dígitos, é mais precis0 que a máquina.
Resposta
a)
b) em .
c) Sim. Mesmo arredondando a 3 algarismos significativos, o erro total é menor que .