1. (a) Determine o polinômio interpolador de Lagrange para f(x)=sen(x), com relação aos pontos de interpolação 0,1 / 3,2 / 3,1 (exiba os cálculos).
    (b) Delimite o erro E(x)=sen(x)-p3(x) para x no intervalo [ 0,1 ], sendo p3(x) o polinômio obtido no item (a).
    © Considerando que o algoritmo implementado numa máquina de calcular M determina o valor de sen(x) com erro menor ou igual a 0.001 , os valores obtidos por p3(x), trabalhando com 3 algarismos significativos são mais precisos que os fornecidos por essa máquina?

Passo 1

Então, o exercício pede três coisas bem diferentes mas conectadas por interpolação de Lagrange:
  1. Calcular o polinômio que interpola nos pontos .
  2. Estimar o erro para , usando a fórmula do resto da interpolação.
  3. Comparar esse erro com o erro de uma máquina que calcula com precisão de 0{,}001 e trabalhando com 3 algarismos significativos.
O conteúdo envolve:
  • Fórmula de Lagrange para montar .
  • Fórmula do resto .
  • Noções de arredondamento e comparação de erros.

Passo 2

Vamos montar o polinômio de Lagrange:
Em geral,
p3(x)=sumi=0^3 f(xi),Li(x),
onde
Li(x)=prodjneq ix-xjxi-xj
Aqui &x0=0, sin(0)=0, &x1=tfrac13, sin(tfrac13), &x2=tfrac23, sin(tfrac23), &x3=1, sin(1) , e
boxed% p3(x) =sin!l(tfrac13r),272x(x-tfrac23)(x-1) -sin!l(tfrac23r),272x(x-tfrac13)(x-1) +sin(1),92x(x-tfrac13)(x-tfrac23)
Calculando cada :

  1. Mas como , o termo some.
Logo,

Passo 3

Teoria do erro: para interpolação de grau 3 em nós E(x)=sin(x)-p3(x) =f^(4)(xi)4!,(x-0),(x-tfrac13),(x-tfrac23),(x-1), ,
|E(x)|<=14!;maxxin[0,1]l|x(x-tfrac13)(x-tfrac23)(x-1)r|
para algum |E(x)|<=124,5432=510368approx0,000482 . Como e ,
O máximo de em é .
Então

Passo 4

Agora, a máquina tem erro 0,000482 + 0,0005 = 0,000982 < 0,001 . Nosso erro de interpolação máximo é .
Se ainda arredondarmos cada valor de para 3 algarismos significativos, o erro de arredondamento adicional é da ordem de metade do último dígito, ou seja, .
Somando ambos (pior caso),
Portanto, mesmo com arredondamento a 3 dígitos, é mais precis0 que a máquina.

Resposta

a)
b) em .
c) Sim. Mesmo arredondando a 3 algarismos significativos, o erro total é menor que .

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