Considerando a função f(x)=x^3-x-1, faça o que se pede: Encontre um intervalo I=[a, b] que contenha uma raiz de f. Como é possível garantir que há uma raiz de f nesse intervalo?

Passo 1

Beleza, o exercício diz que temos a função

e pede pra achar um intervalo que contenha uma raiz de . Além disso, temos que justificar por que realmente tem raiz ali dentro.
Conteúdo da matéria: Teorema do Valor Intermediário (TVI) e continuidade de funções polinomiais.
O que vamos precisar:
  1. Saber que polinômios são funções contínuas.
  2. Avaliar em alguns pontos pra encontrar troca de sinal.
  3. Aplicar o TVI para garantir raiz.

Passo 2

Primeiro, escolhemos dois números f(1)=1^3-1-1 = 1-1-1 = -1 e f(2)=2^3-2-1 = 8-2-1 = 5 e calculamos e . A ideia é achar uma troca de sinal (um valor negativo e outro positivo). Vamos testar:
  • Em :
  • Em :
Então e . Beleza, tem troca de sinal: negativo em e positivo em .

Passo 3

Agora, pelo Teorema do Valor Intermediário:
Se f(1)times f(2) = (-1)times 5 = -5 < 0 é contínua em e e têm sinais opostos, existe pelo menos um tal que .
Como é polinomial, ela é contínua em todo lugar. Temos:
Isso garante uma raiz em .

Resposta

Um intervalo que funciona é , pois , e pelo Teorema do Valor Intermediário há uma raiz de em .

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