Considerando a função
, faça o que se pede: Encontre um intervalo
que contenha uma raiz de
. Como é possível garantir que há uma raiz de
nesse intervalo?
Passo 1
Beleza, o exercício diz que temos a função
e pede pra achar um intervalo que contenha uma raiz de
. Além disso, temos que justificar por que realmente tem raiz ali dentro.
Conteúdo da matéria: Teorema do Valor Intermediário (TVI) e continuidade de funções polinomiais.
O que vamos precisar:
e pede pra achar um intervalo
Conteúdo da matéria: Teorema do Valor Intermediário (TVI) e continuidade de funções polinomiais.
O que vamos precisar:
- Saber que polinômios são funções contínuas.
- Avaliar
em alguns pontos pra encontrar troca de sinal. - Aplicar o TVI para garantir raiz.
Passo 2
Primeiro, escolhemos dois números
e
e calculamos
e
. A ideia é achar uma troca de sinal (um valor negativo e outro positivo). Vamos testar:
- Em
:
- Em
:
Então
e
. Beleza, tem troca de sinal: negativo em
e positivo em
.
Passo 3
Agora, pelo Teorema do Valor Intermediário:
Se é contínua em
e
e
têm sinais opostos, existe pelo menos um
tal que
.
Como é polinomial, ela é contínua em todo lugar. Temos:
Se
Como
Isso garante uma raiz em
.
Resposta
Um intervalo que funciona é
, pois
,
e pelo Teorema do Valor Intermediário há uma raiz de
em
.