Considerando a função f(x)=sen(x) a ser tabelada nos pontos x0=0.5, x1=1.0 e x2=1.5. Determine o polinômio interpolador usando a fórmula de Newton-Gregory para f(1.34), identificando um limite superior para o erro.
Obs1: Lembre-se de usar a calculadora em radianos em cálculos trigonométricos.
Obs2: Caso necessário, utilize o app sugerido para estabelecer o valor das derivadas que serão usadas no calculo.

Passo 1

O enunciado pede que a gente use interpolação de Newton–Gregory (isto é, polinômio em diferenças finitas para pontos igualmente espaçados) na função
nos nós f(x)=sen(x) , , , para estimar e achar um limite superior pro erro.
Conteúdo: tabela de diferenças finitas, fórmula do polinômio de Newton–Gregory e termo de resto (erro) em forma de Lagrange. Vamos precisar de calculadora em radianos e saber que o passo .

Passo 2

Montamos a tabela de diferenças:
onde
c|c|c|c x & f(x)=sen(x) & De
De
De

Passo 3

A fórmula de Newton–Gregory (para frente) em termos de
t=x-x0h
é
P2(t)=f0 ;+; t,De
Aqui e .

Passo 4

Para t=1,34-0,50,5=1,68 :
P2(1,68)=0,479425539 + 1,68cdot0,362045446 + 1,68,(1,68-1)2,(-0,206021444)
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P2(1,34)approx0,479425539 + 0,608236044 - 0,117719 = 0,9699426
Calculando passo a passo:
,
e
.
Somando:

Passo 5

O termo de resto (erro) para grau 2 em Lagrange é
R2(x)=f^(3)(xi)3!(x-x0)(x-x1)(x-x2)
Como implica |R2(1,34)|<= |1,34-0,5|;|1,34-1,0|;|1,34-1,5|6 =0,84cdot0,34cdot0,166approx0,00762 , temos .
Então

Resposta

com erro máximo .

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