(use aproximações com 4 casas decimais) Do cálculo I, sabemos que integral0^1 1x^2+1 d x=pi4 simeq 0,7854. Calcule:
a) Integral de Newton-Cotes com n=3.
b) Integral pela Regra dos trapézios com n=7.
c) Integral pela Regra de Romberg com N=3.
d) Qual método apresenta o menor erro considerando o resultado da integral do enunciado?

Passo 1

Tranquilo, aqui a ideia é aproximar
I = integral0^1 1x^2+1,dx = pi4simeq 0,7854
usando três técnicas de Cálculo Numérico:
  • Newton–Cotes fechado com (que é a regra de Simpson 3/8),
  • Regra dos trapézios composta com ,
  • Romberg até .
    Para tudo isso, vamos precisar das fórmulas de cada regra, calcular , avaliar nos pontos certos e montar as somas.

Passo 2

Regra de Newton–Cotes fechado com h = 1-03 = 13 (Simpson 3/8).
  • Dividimos integral0^1 f(x),dx approx 3h8,l[f(x0) + 3f(x1) + 3f(x2) + f(x3)r], em 3 subintervalos de largura INC3 = 3cdot138l[1 + 3cdot0,9000 + 3cdot0,6923 + 0,5000r] = 18,(6,2769) approx 0,7846
  • A fórmula é com .
  • Avaliando :
    ,
    ,
    ,
    .
  • Então

Passo 3

Regra dos trapézios composta com h = 1-07approx0,1429 .
  • Largura de cada subintervalo: integral0^1 f(x),dx approx h2l[f0 + 2sumi=1^6fi + f7r],
  • Fórmula geral: Itrap = 0,14292l[1 + 2cdot4,7421 + 0,5r] approx 0,7846 onde , .
  • Avaliando rapidamente (4 casas):
    x: 0, 0,1429, 0,2857, …, 0,8571, 1
    f(x): 1, 0,9800, 0,9245, 0,8448, 0,7536, 0,6626, 0,5766, 0,5000
  • Soma interna .
  • Então

Passo 4

Regra de Romberg com R(1,1)=T1=0,5,[f(0)+f(1)]=0,75, .
  1. Primeiro construímos as trapezoidais com R(2,1)=T2=0,25,[1 + 2cdot0,8 + 0,5]=0,775, : R(3,1)=T4approx0,7828 R(2,2)=R(2,1)+R(2,1)-R(1,1)4^1-1 =0,775+0,0253approx0,7833, R(3,2)=0,7828+0,7828-0,7753approx0,7854,
  2. Fazemos as extrapolações: R(3,3)=R(3,2)+R(3,2)-R(2,2)4^2-1 approx0,7855

Passo 5

Comparando com :
  • Newton–Cotes : 0,7846 (erro ≈8×10⁻⁴)
  • Trapézios : 0,7846 (erro ≈8×10⁻⁴)
  • Romberg : 0,7855 (erro ≈1×10⁻⁴)

Resposta

a) 0,7846
b) 0,7846
c) 0,7855
d) A Regra de Romberg ( ) é a que apresenta o menor erro.

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