(use aproximações com 4 casas decimais) Do cálculo I, sabemos que
. Calcule:
a) Integral de Newton-Cotes com
.
b) Integral pela Regra dos trapézios com
.
c) Integral pela Regra de Romberg com
.
d) Qual método apresenta o menor erro considerando o resultado da integral do enunciado?
a) Integral de Newton-Cotes com
b) Integral pela Regra dos trapézios com
c) Integral pela Regra de Romberg com
d) Qual método apresenta o menor erro considerando o resultado da integral do enunciado?
Passo 1
Tranquilo, aqui a ideia é aproximar
usando três técnicas de Cálculo Numérico:
- Newton–Cotes fechado com
(que é a regra de Simpson 3/8), - Regra dos trapézios composta com
, - Romberg até
.
Para tudo isso, vamos precisar das fórmulas de cada regra, calcular, avaliar nos pontos certos e montar as somas.
Passo 2
Regra de Newton–Cotes fechado com
(Simpson 3/8).
- Dividimos
em 3 subintervalos de largura - A fórmula é
com . - Avaliando
:
,
,
,
. - Então
Passo 3
Regra dos trapézios composta com
.
- Largura de cada subintervalo:
- Fórmula geral:
onde , . - Avaliando rapidamente (4 casas):
x: 0, 0,1429, 0,2857, …, 0,8571, 1
f(x): 1, 0,9800, 0,9245, 0,8448, 0,7536, 0,6626, 0,5766, 0,5000 - Soma interna
. - Então
Passo 4
Regra de Romberg com
.
- Primeiro construímos as trapezoidais com
: - Fazemos as extrapolações:
Passo 5
Comparando com
:
- Newton–Cotes
: 0,7846 (erro ≈8×10⁻⁴) - Trapézios
: 0,7846 (erro ≈8×10⁻⁴) - Romberg
: 0,7855 (erro ≈1×10⁻⁴)
Resposta
a) 0,7846
b) 0,7846
c) 0,7855
d) A Regra de Romberg ( ) é a que apresenta o menor erro.
b) 0,7846
c) 0,7855
d) A Regra de Romberg (