Considerando as funções polinomiais abaixo, faça:
- Enumere as suas raízes positivas, negativas e complexas.
- Calcule os limites superior e inferior das raízes positivas.
- Separe e calcule as suas raízes reais positivas, com erro relativo
.
Passo 1
O enunciado pede pra gente analisar o polinômio
: enumerar as raízes positivas, negativas e complexas; calcular limites inferior e superior para todas as raízes positivas; e, por fim, aproximar as raízes reais positivas com erro relativo menor que
. Vamos usar Descartes, a desigualdade de Cauchy para o limite superior e um limite inferior simples, depois localizar intervalos e aplicar o método da bisseção (ou Newton) até atingir a precisão exigida.
Passo 2
Para contar quantas raízes positivas, negativas e complexas existem, aplicamos o critério de Descartes. Em
há as seguintes mudanças de sinal nos coeficientes
: ocorrem 3 mudanças, logo há 3 ou 1 raiz positiva. Em
há 1 mudança de sinal, logo 1 ou {-1 (impossível)} raiz negativa. Constatamos pelos sinais de
que existem exatamente 3 raízes reais positivas e 1 real negativa, totalizando 4 reais e portanto 0 complexas.
Passo 3
Para o limite superior das raízes positivas usamos a desigualdade de Cauchy: se
então toda raiz positiva
satisfaz
Aqui
, logo o limite superior é
.
Passo 4
Um limite inferior (garantido para toda raiz positiva) pode ser obtido pela fórmula simples
Então todas as raízes positivas estão em
Passo 5
Para aproximar as 3 raízes positivas, achamos intervalos de mudança de sinal e aplicamos bisseção até erro relativo
:
- Raiz 1 em
converge para . - Raiz 2 em
converge para . - Raiz 3 em
converge para .
Nessas aproximações o erro relativo é menor que 1%.
Passo 6
Para completar, localizamos também a única raiz negativa pelo mesmo processo: mudança de sinal entre
dá
. Não há raízes complexas porque já encontramos 4 reais no total.
Resposta
raízes positivas: aproximadamente 0.48, 1.06 e 13.89; raiz negativa: aproximadamente -1.42; raízes complexas: nenhuma; limite inferior para raízes positivas ≈0.20408; limite superior =25.