Considerando as funções polinomiais abaixo, faça:
  • Enumere as suas raízes positivas, negativas e complexas.
  • Calcule os limites superior e inferior das raízes positivas.
  • Separe e calcule as suas raízes reais positivas, com erro relativo <10^-2.
    f(x)=x^4-14 x^3+24 x-10

Passo 1

O enunciado pede pra gente analisar o polinômio f(x)=x^4-14x^3+24x-10: enumerar as raízes positivas, negativas e complexas; calcular limites inferior e superior para todas as raízes positivas; e, por fim, aproximar as raízes reais positivas com erro relativo menor que 10^-2. Vamos usar Descartes, a desigualdade de Cauchy para o limite superior e um limite inferior simples, depois localizar intervalos e aplicar o método da bisseção (ou Newton) até atingir a precisão exigida.

Passo 2

Para contar quantas raízes positivas, negativas e complexas existem, aplicamos o critério de Descartes. Em f(x) há as seguintes mudanças de sinal nos coeficientes +1, -14, 0, +24, -10: ocorrem 3 mudanças, logo há 3 ou 1 raiz positiva. Em f(-x)=x^4+14x^3-24x-10 há 1 mudança de sinal, logo 1 ou {-1 (impossível)} raiz negativa. Constatamos pelos sinais de f(0),f(1),f(2),f(5),f(15) que existem exatamente 3 raízes reais positivas e 1 real negativa, totalizando 4 reais e portanto 0 complexas.

Passo 3

Para o limite superior das raízes positivas usamos a desigualdade de Cauchy: se f(x)=x^4+a3x^3+cdots+a0 então toda raiz positiva x>0 satisfaz
x <= 1+maxl(|a3|,|a2|,|a1|,|a0|r)
Aqui max(|-14|,0,24,10)=24, logo o limite superior é 1+24=25.

Passo 4

Um limite inferior (garantido para toda raiz positiva) pode ser obtido pela fórmula simples
L=|a0||a0|+|a3|+|a2|+|a1|+1= 1010+14+0+24+1=1049approx0.20408
Então todas as raízes positivas estão em
0.20408<= x<=25

Passo 5

Para aproximar as 3 raízes positivas, achamos intervalos de mudança de sinal e aplicamos bisseção até erro relativo <10^-2:
  • Raiz 1 em (0.4,0.5) converge para x1approx0.48.
  • Raiz 2 em (1.05,1.08) converge para x2approx1.06.
  • Raiz 3 em (13.5,14) converge para x3approx13.89.
    Nessas aproximações o erro relativo é menor que 1%.

Passo 6

Para completar, localizamos também a única raiz negativa pelo mesmo processo: mudança de sinal entre -1.5,-1) x4approx-1.42. Não há raízes complexas porque já encontramos 4 reais no total.

Resposta

raízes positivas: aproximadamente 0.48, 1.06 e 13.89; raiz negativa: aproximadamente -1.42; raízes complexas: nenhuma; limite inferior para raízes positivas ≈0.20408; limite superior =25.

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