Encontre as raízes das funções abaixo utilizando o método da Bisseção, usando cinco iterações. Informe o erro máximo cometido.
f(x)=2 x-cos x

Passo 1

Temos a função f(x)=2x-cos x e queremos encontrar uma raiz real usando o método da bisseção com cinco iterações. Esse conteúdo envolve o Teorema do Valor Intermediário e a técnica da bisseção para aproximar raízes de funções contínuas.

Passo 2

Para aplicar a bisseção precisamos de um intervalo [a,b] em que f(a) e f(b) tenham sinais opostos. Avaliando nos extremos: f(0)=2cdot0-cos0=-1<0 e f(1)=2cdot1-cos1approx1.4597>0. Logo existe pelo menos uma raiz em [0,1].

Passo 3

A cada iteração calculamos o ponto médio mk e avaliamos f(mk) para definir o novo subintervalo:
mk=ak-1+bk-12
Iterações:
  1. m1=0.5, f(0.5)approx0.1224>0 ⇒ novo intervalo [0,0.5].
  2. m2=0.25, f(0.25)approx-0.4689<0 ⇒ novo intervalo [0.25,0.5].
  3. m3=0.375, f(0.375)approx-0.1805<0 ⇒ novo intervalo [0.375,0.5].
  4. m4=0.4375, f(0.4375)approx-0.0306<0 ⇒ novo intervalo [0.4375,0.5].
  5. m5=0.46875, f(0.46875)approx0.0450>0 ⇒ novo intervalo [0.4375,0.46875].

Passo 4

Após cinco iterações, tomamos a aproximação da raiz como m5=0.46875. O erro máximo possível é dado por metade do comprimento do último intervalo:
erromax=b5-a52=0.46875-0.43752=0.015625

Resposta

Aproximação da raiz: 0.46875 com erro máximo 0.015625.

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