Encontre as raízes das funções abaixo utilizando o método da Bisseção, usando cinco iterações. Informe o erro máximo cometido.
f(x)=x^2-5 x+6

Passo 1

Temos a função f(x)=x^2-5x+6, cujo gráfico cruza o eixo x em suas raízes. O conteúdo aqui é o método da bisseção, que requer encontrar um intervalo [a,b] tal que f(a)cdot f(b)<0, garantindo uma raiz em [a,b]. Vamos usar cinco iterações e depois estimar o erro máximo como (b0-a0)/2^5.

Passo 2

Observando que f(x)=(x-2)(x-3), há uma raiz perto de x=2 e outra perto de x=3. Para a primeira, escolhemos [1,2.5] pois f(1)=2>0 e f(2.5)=-0.25<0. Para a segunda, escolhemos [2.5,4] pois f(2.5)<0 e f(4)=2>0.

Passo 3

Iterações em [1,2.5]:
1ª iteração: m1=(1+2.5)/2=1.75, f(1.75)=0.3125>0 → novo intervalo [1.75,2.5].
2ª iteração: m2=(1.75+2.5)/2=2.125, f(2.125)=-0.1094<0 [1.75,2.125].
3ª iteração: m3=(1.75+2.125)/2=1.9375, f(1.9375)=0.0664>0 [1.9375,2.125].
4ª iteração: m4=(1.9375+2.125)/2=2.03125, f(2.03125)=-0.03125<0 [1.9375,2.03125].
5ª iteração: m5=(1.9375+2.03125)/2=1.984375, f(1.984375)=0.0160>0 → intervalo final [1.984375,2.03125], raiz aproximada xapprox1.984375.
Iterações em [2.5,4]:
1ª iteração: m1=(2.5+4)/2=3.25, f(3.25)=0.3125>0 [2.5,3.25].
2ª iteração: m2=(2.5+3.25)/2=2.875, f(2.875)=-0.1094<0 [2.875,3.25].
3ª iteração: m3=(2.875+3.25)/2=3.0625, f(3.0625)=0.0664>0 [2.875,3.0625].
4ª iteração: m4=(2.875+3.0625)/2=2.96875, f(2.96875)=-0.03125<0 [2.96875,3.0625].
5ª iteração: m5=(2.96875+3.0625)/2=3.015625, f(3.015625)=0.0156>0 → intervalo final [2.96875,3.015625], raiz aproximada xapprox3.015625.

Passo 4

O erro máximo após 5 iterações para cada intervalo vem de
erromax=b0-a02^5=2.5-132=0.046875
e igualmente para [2.5,4], pois o comprimento inicial é também 1.5.

Resposta

As raízes aproximadas são x≈1.984375 e x≈3.015625, com erro máximo de 0.046875.

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