Considerando as funções polinomiais abaixo, faça:
- Enumere as suas raízes positivas, negativas e complexas.
- Calcule os limites superior e inferior das raízes positivas.
- Separe e calcule as suas raízes reais positivas, com erro relativo
.
Passo 1
O enunciado pede para, dada a função polinomial
, a) listar suas raízes positivas, negativas e complexas, b) encontrar limites superior e inferior para as raízes positivas e c) aproximar as raízes reais positivas com erro relativo inferior a
. Vamos precisar do Teorema das raízes racionais, do Teorema de Cauchy para limites de raízes e de um método simples de aproximação (por exemplo, bisseção).
Passo 2
Para achar as raízes exatas, aplicamos o teste de raízes racionais (candidatos
). Verificamos que
e
são raízes. Fatorando por divisão sintética primeiro por
e depois por
, chegamos ao polinômio cúbico
. Esse fatora em
e sobra a quadrática
, cujas raízes são complexas conjugadas. Assim as raízes são
Passo 3
As raízes positivas são
e
; a negativa real é
; e as complexas são
.
Passo 4
Para limites das raízes positivas usamos o Teorema de Cauchy. Escrevendo
, os coeficientes negativos são
e
. Um limite superior é
Passo 5
Para o limite inferior nas raízes positivas consideramos o polinômio recíproco
. De novo as negativas em
têm módulo máximo 16, logo todas as raízes positivas de
satisfazem
, isto é, para as raízes
de
vale
ou
. Portanto as raízes positivas de
estão em
Passo 6
Para aproximar numericamente as raízes positivas com erro relativo menor que
, isolamos cada raiz por mudança de sinal:
- Entre
e há a raiz . - Entre
e há a raiz .
Como sabemos que são raízes inteiras, suas aproximações com erro relativo menor quesão
Resposta
Raízes positivas: 1 e 3; negativa: –1; complexas: –2 ± i. Limites para raízes positivas: 1/17 ≤ r ≤ 17. Aproximações com erro relativo <10⁻²: r₁≈1.00 e r₂≈3.00.