Considerando as funções polinomiais abaixo, faça:
  • Enumere as suas raízes positivas, negativas e complexas.
  • Calcule os limites superior e inferior das raízes positivas.
  • Separe e calcule as suas raízes reais positivas, com erro relativo <10^-2.
    f(x)=x^5+x^4-8 x^3-16 x^2+7 x+15

Passo 1

O enunciado pede para, dada a função polinomial f(x)=x^5+x^4-8x^3-16x^2+7x+15, a) listar suas raízes positivas, negativas e complexas, b) encontrar limites superior e inferior para as raízes positivas e c) aproximar as raízes reais positivas com erro relativo inferior a 10^-2. Vamos precisar do Teorema das raízes racionais, do Teorema de Cauchy para limites de raízes e de um método simples de aproximação (por exemplo, bisseção).

Passo 2

Para achar as raízes exatas, aplicamos o teste de raízes racionais (candidatos pm1,pm3,pm5,pm15). Verificamos que x=1 e x=3 são raízes. Fatorando por divisão sintética primeiro por x-1 e depois por x-3, chegamos ao polinômio cúbico x^3+5x^2+9x+5. Esse fatora em x+1 e sobra a quadrática x^2+4x+5, cujas raízes são complexas conjugadas. Assim as raízes são
x=1, x=3, x=-1, x=-2+ i, x=-2- i

Passo 3

As raízes positivas são 1 e 3; a negativa real é -1; e as complexas são -2pm i.

Passo 4

Para limites das raízes positivas usamos o Teorema de Cauchy. Escrevendo f(x)=x^5+a4x^4+cdots+a0, os coeficientes negativos são a3=-8 e a2=-16. Um limite superior é
M=1+max|-8|,|-16|=1+16=17

Passo 5

Para o limite inferior nas raízes positivas consideramos o polinômio recíproco g(x)=x^5f(1/x)=15x^5+7x^4-16x^3-8x^2+x+1. De novo as negativas em g têm módulo máximo 16, logo todas as raízes positivas de g satisfazem x<=17, isto é, para as raízes r>0 de f vale 1/r<=17 ou r>=1/17. Portanto as raízes positivas de f estão em
117<= r<=17

Passo 6

Para aproximar numericamente as raízes positivas com erro relativo menor que 10^-2, isolamos cada raiz por mudança de sinal:
  • Entre 0 e 2 há a raiz x=1.
  • Entre 2 e 4 há a raiz x=3.
    Como sabemos que são raízes inteiras, suas aproximações com erro relativo menor que 10^-2 são
x1approx1.00, x2approx3.00

Resposta

Raízes positivas: 1 e 3; negativa: –1; complexas: –2 ± i. Limites para raízes positivas: 1/17 ≤ r ≤ 17. Aproximações com erro relativo <10⁻²: r₁≈1.00 e r₂≈3.00.

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