Considerando as funções polinomiais abaixo, faça:
- Enumere as suas raízes positivas, negativas e complexas.
- Calcule os limites superior e inferior das raízes positivas.
- Separe e calcule as suas raízes reais positivas, com erro relativo
.
Passo 1
Enunciado: temos o polinômio de grau 3
Conteúdo: classificação de raízes (reais positivas, reais negativas, complexas), teoremas de limites (Cauchy) e localização/existência de raízes.
Passo 2
Aplicação do critério de Descartes para contar o número de raízes:
• Para raízes positivas, observamos as mudanças de sinal em f(x): +4 → +1.5 (nenhuma), +1.5 → –5.75 (1), –5.75 → +4.37 (1), total 2 mudanças → ou 2 ou 0 raízes positivas.
• Para raízes negativas, olhamos f(–x)=–4x3+1.5x2+5.75x+4.37: mudanças de sinal = 1 → exatamente 1 raiz negativa.
Portanto teremos 0 ou 2 raízes reais positivas, 1 raiz real negativa e o restante (2 ou 0) de raízes complexas.
• Para raízes positivas, observamos as mudanças de sinal em f(x): +4 → +1.5 (nenhuma), +1.5 → –5.75 (1), –5.75 → +4.37 (1), total 2 mudanças → ou 2 ou 0 raízes positivas.
• Para raízes negativas, olhamos f(–x)=–4x3+1.5x2+5.75x+4.37: mudanças de sinal = 1 → exatamente 1 raiz negativa.
Portanto teremos 0 ou 2 raízes reais positivas, 1 raiz real negativa e o restante (2 ou 0) de raízes complexas.
Passo 3
Cálculo dos limites inferior e superior das possíveis raízes positivas pelo método de Cauchy:
• Limite superior
• Limite superior
• Limite inferior: como não há termo constante negativo isolado que force raízes positivas >a algum valor >0, adotamos o limite inferior trivial 0.
Passo 4
Verificação numérica para existência de raízes positivas: ao avaliar f(x) em vários pontos de 0 a 2.4375 (por exemplo x=0,0.5,1,1.5,2,2.4) obtemos sempre f(x)>0, o que indica que não existem raízes reais positivas.
Passo 5
Raízes reais positivas com erro relativo <10^{-2}: como não há raízes reais positivas, não temos valores a calcular.
Passo 6
Cálculo da raiz negativa e das complexas (completar para catálogo): usando bisseção/Newton encontra-se a raiz real negativa
$$
x_1\approx-1.648
4x^2-5.092x+2.645=0
x_{2,3}\approx0.6365\pm0.506,i
$$
Resposta
Raízes positivas: nenhuma
Raízes negativas: x\approx-1.648
Raízes complexas: x\approx0.6365\pm0.506,i
Limite inferior das raízes positivas: 0
Limite superior das raízes positivas: 2.4375
Raízes negativas: x\approx-1.648
Raízes complexas: x\approx0.6365\pm0.506,i
Limite inferior das raízes positivas: 0
Limite superior das raízes positivas: 2.4375