Considerando as funções polinomiais abaixo, faça:
- Enumere as suas raízes positivas, negativas e complexas.
- Calcule os limites superior e inferior das raízes positivas.
- Separe e calcule as suas raízes reais positivas, com erro relativo
.
Passo 1
O problema pede para achar e classificar as raízes de f(x)=2x6−3x5−2x3+x2−x+1, determinar cotas para as raízes positivas e aproximar essas raízes reais positivas com erro relativo <10^{−2}.
Passo 2
Usando a Regra de Descartes contamos sinais em f(x): +,−,−,+,−,+ dá 4 ou 2 ou 0 raízes positivas. Avaliando f em 0.4 (positivo), em 1 (negativo) e em 2 (positivo) vemos de fato 2 mudanças de sinal, logo duas raízes positivas. Em f(−x)=2x6+3x5−2x3+x2+x+1 há 2 mudanças ou 0, mas testes mostram f(−1)>0 e f(−2)>0 sem trocas de sinal, logo 0 raízes negativas. Como grau é 6, as outras 4 são complexas.
Passo 3
Para as cotas das raízes positivas aplicamos o teorema de Cauchy superior: 1+max{|a_i/a_6|}=1+1.5=2.5. Para a cota inferior usamos o menor entre (a_6/(a_6+|a_k|))^{1/(6−k)} para coeficientes negativos, obtendo 0.4. Assim 0.4<x<2.5.
Passo 4
Isolamos os dois intervalos de raiz real positiva pelas mudanças de sinal: f(0.4)>0 e f(1)<0 → raiz em (0.4,1). f(1.5)<0 e f(2)>0 → raiz em (1.5,2).
Passo 5
Aplicamos bisseção em cada intervalo até garantir erro relativo <10^{−2}. A primeira raiz converge para ≈0.657 que arredondamos para 0.66. A segunda converge para ≈1.755 que arredondamos para 1.76.
Passo 6
Assim as duas raízes reais positivas são aproximadamente 0.66 e 1.76 com erro relativo abaixo de 1 %.
Resposta
Raízes positivas: ≈0.66 e ≈1.76; raízes negativas: nenhuma; raízes complexas: 4 (duas pares conjugados). Limites para raízes positivas: 0.4<x<2.5. Aproximações (erro relativo<10^{−2}): x_1≈0.66, x_2≈1.76.