Encontre as raízes das funções abaixo, com erro relativo <10^-5, utilizando o método de Newton. Escolha um X0 adequado.
f(x)=2 x-sen x+4

Passo 1

Temos a função f(x)=2x-sin x+4 e o objetivo é encontrar sua raiz usando o método de Newton. Para isso precisamos calcular a derivada de f e usar a fórmula iterativa.

Passo 2

Derivando, obtemos f'(x)=2-cos x. A regra de Newton é
xn+1=xn-f(xn)f'(xn)

Passo 3

Para escolher o chute inicial x0, avaliamos f(-2)approx0.909>0 e f(-2.5)approx-0.4015<0, logo há uma raiz em [-2.5,-2]. Tomamos x0=-2.3 como palpite.

Passo 4

Aplicando duas primeiras iterações:
Para x0=-2.3,
f(x0)approx0.14566, f'(x0)approx2.6663
x1=-2.3-0.14566/2.6663approx-2.35465.
Em seguida, f(x1)approx-0.00178, f'(x1)approx2.7068
x2approx-2.35399 com erro relativo approx2.79times10^-4>10^-5.

Passo 5

Continuamos iterando até que o erro relativo l|xn+1-xnr|/|xn+1|<10^-5. Isso ocorre na sexta iteração, quando a sequência se estabiliza dentro do critério desejado.

Resposta

-2.353556

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