Encontre as raízes das funções abaixo, com erro relativo <10^-5, utilizando o método de Newton. Escolha um X0 adequado.
f(x)=10^x+x^3+2

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos encontrar a raiz da função f(x)=10^x+x^3+2 usando o método de Newton. O conteúdo envolve aplicação do método de Newton para achar zeros de funções e precisamos da derivada f'(x).

Passo 2

Derivada e escolha de X0: a derivada é
f'(x)=ln(10)cdot10^x+3x^2
Como f(-2)=10^-2-8+2<0 e f(-1)=10^-1-1+2>0, existe uma única raiz em (-2,-1). Escolhemos X0=-1.5.

Passo 3

Fórmula iterativa de Newton:
xn+1=xn-f(xn)f'(xn)

Passo 4

Cálculo das iterações até o critério de erro relativo <10^{-5}:
Iteração 1: x0=-1.5, f(x0)approx-1.34338, f'(x0)approx6.82277 x1approx-1.30300.
Iteração 2: x1=-1.30300, f(x1)approx-0.16314, f'(x1)approx5.20900 x2approx-1.27168.
Iteração 3: x2=-1.27168, f(x2)approx-0.00334, f'(x2)approx4.97483 x3approx-1.27101.
Iteração 4: x3=-1.27101, f(x3)approx-0.00039, f'(x3)approx4.96920 x4approx-1.27093, erro relativo ≈6.2×10{-5}>10{-5}.
Iteração 5: x4=-1.27093, f(x4)approx-5.1×10^-5, f'(x4)approx4.96914 x5approx-1.2709223, erro relativo ≈8.1×10{-6}<10{-5}).

Resposta

A raiz aproximada é xapprox-1.2709223.

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