Considerando o Método Babilônico calcule, com precisão de 8 casas decimais, as raízes quadradas abaixo:
e
por sua escolha.
Passo 1
O enunciado pede para calcular, com precisão de 8 casas decimais, as raízes quadradas de dois números:
e um número à minha escolha.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- Deve-se usar o Método Babilônico (também conhecido como método de Heron) para extrair raízes quadradas.
- A precisão final exigida é de 8 casas decimais (ou seja, 8 dígitos depois da vírgula).
Decisão: vou calcular(pedido) e escolher como segundo exemplo, porque é um exemplo clássico e é fácil de checar.
Passo 2
Apresentação do Método Babilônico (fórmula, ideia e critério de parada).
- Ideia simples: a raiz quadrada de um número
pode ser aproximada por uma sequência definida por iteração, que rapidamente converge para . - Fórmula de iteração (regra de atualização):
Aqui:
-
é o número cuja raiz quadrada queremos (por ex. ou ). -
é a aproximação atual da raiz quadrada. -
é a nova aproximação, obtida pela média aritmética entre e . - Por que funciona (intuição curta e não técnica): se
é maior que , então é menor que ; tomando a média ficamos mais perto. O método tem convergência quadrática, isto é, o número de dígitos corretos dobra rapidamente a cada iteração quando já estamos perto. - Critério de parada prático (para obter 8 casas decimais): parar quando a diferença absoluta entre duas iterações consecutivas satisfizer
porque isso garante que a aproximação concorda com a raiz verdadeira no 8.º decimal após o arredondamento (metade da unidade na última casa decimal requisitada). Em prática, iremos verificar também que valores sucessivos estabilizam nos 8 dígitos mostrados.
Passo 3
Aplicando o método a
. Escolha inicial:
(porque
e
, então
está perto de
).
Cálculo detalhado das iterações (vou mostrar frações exatas quando possível e depois a forma decimal):
Cálculo detalhado das iterações (vou mostrar frações exatas quando possível e depois a forma decimal):
Iteração 1:
Passo 4
Iteração 2 (usar valores exatos quando possível):
Temos . Então
Temos
Agora
(Nota: foi conservada a forma fracionária exata
para checar a precisão exata mais adiante.)
Passo 5
Iteração 3 (cálculo com frações exatas e divisão longa para garantir dígitos):
Calculemos sabendo
:
Calculemos
Fazendo a divisão inteira:
, resto
, portanto
Fazendo a expansão decimal de
(divisão longa) obtemos, até os dígitos necessários,
portanto
Agora
Passo 6
Verificação de convergência para
:
- Diferença entre iterações
em valor absoluto . - Esse valor é da ordem de
. Para garantir arredondamento correto às 8 casas decimais, é desejável que a diferença seja menor que . O método é quadrático: mais uma iteração reduz amplamente o erro. Faço então uma iteração adicional de checagem (numérica, já que os números estão muito próximos):
Iteração 4 (cheque rápido):
Como está muito próximo da raiz,
dá praticamente o mesmo número a muitas casas; fazendo a média numérica:
Como
A diferença
fica da ordem de
(praticamente zero para os nossos 8 dígitos). Portanto as casas decimais até a 8.ª casa estão estáveis.
Conclusão para
: truncando/aranjando ao arredondamento correto com 8 casas decimais obtemos
Passo 7
Aplicando o método ao segundo número escolhido:
. Vou mostrar as iterações típicas (escolha inicial
):
Iteração 0:
Iteração 1:
Iteração 2:
Iteração 3:
Iteração 4:
- Diferença
, muito menor que . Assim os oito primeiros dígitos decimais já estão estáveis.
Portanto, com 8 casas decimais:
Passo 8
Resumo e dica prática para a prova:
- O Método Babilônico é simplesmente a iteração
. Comece com um palpite razoável (por exemplo, inteiro próximo). - Faça iterações até que duas aproximações consecutivas difiram menos que
(para garantir 8 casas decimais). - Em prova faça 3–4 iterações na maioria dos casos (o método é muito rápido).
- Mostre algum controle de erro (diferença entre iterações) para justificar que a precisão foi alcançada.