Considerando o Método Babilônico calcule, com precisão de 8 casas decimais, as raízes quadradas abaixo:
\sqrt{199} e a por sua escolha.

Passo 1

O enunciado pede para calcular, com precisão de 8 casas decimais, as raízes quadradas de dois números: \sqrt{199} e um número à minha escolha.
Informações relevantes dadas:
  • Deve-se usar o Método Babilônico (também conhecido como método de Heron) para extrair raízes quadradas.
  • A precisão final exigida é de 8 casas decimais (ou seja, 8 dígitos depois da vírgula).
    Decisão: vou calcular \sqrt{199} (pedido) e escolher \sqrt{2} como segundo exemplo, porque é um exemplo clássico e é fácil de checar.

Passo 2

Apresentação do Método Babilônico (fórmula, ideia e critério de parada).
  • Ideia simples: a raiz quadrada de um número a>0 pode ser aproximada por uma sequência \{x_n\} definida por iteração, que rapidamente converge para \sqrt{a}.
  • Fórmula de iteração (regra de atualização):
x_{n+1}=\frac{x_n+\dfrac{a}{x_n}}{2}.
Aqui:
  • a é o número cuja raiz quadrada queremos (por ex. a=199 ou a=2).
  • x_n é a aproximação atual da raiz quadrada.
  • x_{n+1} é a nova aproximação, obtida pela média aritmética entre x_n e a/x_n.
  • Por que funciona (intuição curta e não técnica): se x_n é maior que \sqrt{a}, então a/x_n é menor que \sqrt{a}; tomando a média ficamos mais perto. O método tem convergência quadrática, isto é, o número de dígitos corretos dobra rapidamente a cada iteração quando já estamos perto.
  • Critério de parada prático (para obter 8 casas decimais): parar quando a diferença absoluta entre duas iterações consecutivas satisfizer
|x_{n+1}-x_n| < 5\times 10^{-9},
porque isso garante que a aproximação concorda com a raiz verdadeira no 8.º decimal após o arredondamento (metade da unidade na última casa decimal requisitada). Em prática, iremos verificar também que valores sucessivos estabilizam nos 8 dígitos mostrados.

Passo 3

Aplicando o método a \sqrt{199}. Escolha inicial: x_0=14 (porque 14^2=196 e 15^2=225, então \sqrt{199} está perto de 14).
Cálculo detalhado das iterações (vou mostrar frações exatas quando possível e depois a forma decimal):
Iteração 1:
x_0=14.
x_1=\frac{14+\dfrac{199}{14}}{2}=\frac{14+\dfrac{199}{14}}{2}=\frac{395}{28}\approx14{,}107142857142857.

Passo 4

Iteração 2 (usar valores exatos quando possível):
Temos x_1=\dfrac{395}{28}. Então
\frac{199}{x_1}=\frac{199}{\tfrac{395}{28}}=\frac{199\cdot28}{395}=\frac{5572}{395}\approx14{,}106329113924051.
Agora
x_2=\frac{x_1+\dfrac{199}{x_1}}{2}=\frac{\tfrac{395}{28}+\tfrac{5572}{395}}{2}=\frac{312041}{22120}\approx14{,}106735985533454.
(Nota: foi conservada a forma fracionária exata \dfrac{312041}{22120} para checar a precisão exata mais adiante.)

Passo 5

Iteração 3 (cálculo com frações exatas e divisão longa para garantir dígitos):
Calculemos \dfrac{199}{x_2} sabendo x_2=\dfrac{312041}{22120}:
\frac{199}{x_2}=199\cdot\frac{22120}{312041}=\frac{4401880}{312041}.
Fazendo a divisão inteira: 312041\cdot 14=4368574, resto 33306, portanto
\frac{4401880}{312041}=14+\frac{33306}{312041}.
Fazendo a expansão decimal de \dfrac{33306}{312041} (divisão longa) obtemos, até os dígitos necessários,
\frac{33306}{312041}\approx0{,}1067359737983149,
portanto
\frac{199}{x_2}\approx14{,}1067359737983149.
Agora
x_3=\frac{x_2+\dfrac{199}{x_2}}{2}\approx\frac{14{,}106735985533454+14{,}1067359737983149}{2}=14{,}1067359796658845.

Passo 6

Verificação de convergência para \sqrt{199}:
  • Diferença entre iterações x_3-x_2\approx14{,}1067359796658845-14{,}106735985533454\approx-5{,}86757\times10^{-9} em valor absoluto \approx5{,}8676\times10^{-9}.
  • Esse valor é da ordem de 10^{-9}. Para garantir arredondamento correto às 8 casas decimais, é desejável que a diferença seja menor que 5\times 10^{-9}. O método é quadrático: mais uma iteração reduz amplamente o erro. Faço então uma iteração adicional de checagem (numérica, já que os números estão muito próximos):
Iteração 4 (cheque rápido):
Como x_3 está muito próximo da raiz, 199/x_3 dá praticamente o mesmo número a muitas casas; fazendo a média numérica:
x_4=\frac{x_3+\dfrac{199}{x_3}}{2}\approx14{,}106735979665884\\ (\text{os dígitos mostrados não mudam até a 15. casa decimal}).íãé
A diferença |x_4-x_3| fica da ordem de 10^{-17} (praticamente zero para os nossos 8 dígitos). Portanto as casas decimais até a 8.ª casa estão estáveis.
Conclusão para \sqrt{199}: truncando/aranjando ao arredondamento correto com 8 casas decimais obtemos
\sqrt{199}\approx14{,}10673598.

Passo 7

Aplicando o método ao segundo número escolhido: \sqrt{2}. Vou mostrar as iterações típicas (escolha inicial x_0=1{,}5):
Iteração 0:
x_0=1{,}5.
Iteração 1:
x_1=\frac{1{,}5+\dfrac{2}{1{,}5}}{2}=\frac{1{,}5+1{,}3333333333333333}{2}=1{,}4166666666666667.
Iteração 2:
\frac{2}{x_1}\approx1{,}4117647058823529,
x_2=\frac{1{,}4166666666666667+1{,}4117647058823529}{2}=1{,}4142156862745098.
Iteração 3:
\frac{2}{x_2}\approx1{,}41421143847487,\qquad x_3=\frac{1{,}4142156862745098+1{,}41421143847487}{2}=1{,}4142135623746899.
Iteração 4:
\frac{2}{x_3}\approx1{,}4142135623730951,\qquad x_4=\frac{1{,}4142135623746899+1{,}4142135623730951}{2}=1{,}4142135623730950.
  • Diferença |x_4-x_3|\approx1{,}6\times10^{-12}, muito menor que 5\times10^{-9}. Assim os oito primeiros dígitos decimais já estão estáveis.
    Portanto, com 8 casas decimais:
\sqrt{2}\approx1{,}41421356.

Passo 8

Resumo e dica prática para a prova:
  • O Método Babilônico é simplesmente a iteração x_{n+1}=(x_n+a/x_n)/2. Comece com um palpite razoável (por exemplo, inteiro próximo).
  • Faça iterações até que duas aproximações consecutivas difiram menos que 5\times10^{-9} (para garantir 8 casas decimais).
  • Em prova faça 3–4 iterações na maioria dos casos (o método é muito rápido).
  • Mostre algum controle de erro (diferença entre iterações) para justificar que a precisão foi alcançada.

Resposta

\sqrt{199}\approx14{,}10673598
\sqrt{2}\approx1{,}41421356

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