Considere que x=0.3839404142, y=0.383940999, z=193978.9717 \mathrm{e} w=981 \cdot 10^{3}. Estude a perda de dígitos significativos das operações abaixo, ou seja, trunca-se somente antes da operação. Sempre calcule o erro relativo, para cada caso. Observe os resultados. x-y, exato e truncado em 5 casas decimais.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
Dados:
x=0,3839404142
y=0,383940999
(também foram dados z e w no enunciado, mas esta parte pede apenas a operação x-y.)
O pedido desta parte: estudar a perda de dígitos significativos em \,x-y, quando:
(a) calcula-se o valor exato da diferença;
(b) trunca-se cada número antes da operação em 5 casas decimais e então realiza-se a diferença;
para cada caso deve-se calcular o erro relativo da aproximação (aqui a aproximação é o resultado obtido pelo truncamento).
Observação importante do enunciado: “trunca-se somente antes da operação” — ou seja, aplica-se truncamento a x e a y separadamente, depois subtrai-se os valores truncados.
Passo 2
Calcular a diferença exata \,x-y usando os valores dados (sem truncamento).
Para operar, alinham-se os números com igual número de casas decimais (completar com zeros quando necessário):
x=0,3839404142
y=0,3839409990 (adicionou-se um zero à direita para igualar casas)
Em notação científica (útil para ver a ordem de grandeza):x-y=-5{,}848\times10^{-7}.
Explicação didática rápida: os dois números são muito próximos (iguais nas primeiras casas), então a diferença é um número muito menor que cada um dos termos — isto é a causa da perda de dígitos significativos em subtrações entre números próximos.
Passo 3
Truncamento em 5 casas decimais antes da operação (regra: truncar, não arredondar).
Truncar significa cortar as casas além da quinta decimal e descartar o restante.
Para x=0,3839404142: as cinco primeiras casas decimais são 3,8,3,9,4, portantox_{\text{trunc}}=0,38394.
Para y=0,383940999: as cinco primeiras casas decimais também são 3,8,3,9,4, portantoy_{\text{trunc}}=0,38394.
Observação didática: apesar de x e y serem diferentes depois da quinta casa, ao truncar em 5 casas ambos ficam exatamente iguais — já aí está explícita a perda de informação que causa cancelamento total.
Explicação didática: o erro relativo igual a 1 significa que a aproximação (zero) está completamente errada em termos relativos — perdeu-se toda a informação do valor da diferença.
Passo 6
Interpretação sobre perda de dígitos significativos e conclusão prática para prova:
Os números x e y coincidem nas primeiras seis casas decimais (até a casa 10^{-6}); a diferença está na casa 10^{-7}. Ao truncar em 5 casas decimais, cortamos todas as casas onde os números diferem; portanto a subtração dos truncados resulta em zero. Isso é um caso clássico de “cancelamento catastrófico”: subtrair dois números muito próximos faz desaparecer as casas significativas, e qualquer aproximação grosseira (como truncamento cedo) pode anular o resultado.
Regra prática para a prova: quando tiver que subtrair números próximos, evite reduzir a precisão antes da operação. Se for inevitável (por limitações), trabalhe em notação científica ou mantenha guardas extras de precisão para não perder dígitos importantes.
Medida de perda: aqui a ordem de grandeza dos operandos é 10^{-1} e da diferença é 10^{-7}, ou seja a diferença é menor por fator aproximadamente 10^{6}. Isso indica perda de cerca de 6 dígitos significativos na operação de subtração.