Considere que x=0.3839404142, y=0.383940999, z=193978.9717 \mathrm{e} w=981 \cdot 10^{3}. Estude a perda de dígitos significativos das operações abaixo, ou seja, trunca-se somente antes da operação. Sempre calcule o erro relativo, para cada caso. Observe os resultados.
x-y, exato e truncado em 5 casas decimais.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dados:
    • x=0,3839404142
    • y=0,383940999
    • (também foram dados z e w no enunciado, mas esta parte pede apenas a operação x-y.)
  • O pedido desta parte: estudar a perda de dígitos significativos em \,x-y, quando:
    • (a) calcula-se o valor exato da diferença;
    • (b) trunca-se cada número antes da operação em 5 casas decimais e então realiza-se a diferença;
    • para cada caso deve-se calcular o erro relativo da aproximação (aqui a aproximação é o resultado obtido pelo truncamento).
  • Observação importante do enunciado: “trunca-se somente antes da operação” — ou seja, aplica-se truncamento a x e a y separadamente, depois subtrai-se os valores truncados.

Passo 2

Calcular a diferença exata \,x-y usando os valores dados (sem truncamento).
  • Para operar, alinham-se os números com igual número de casas decimais (completar com zeros quando necessário):
    • x=0,3839404142
    • y=0,3839409990 (adicionou-se um zero à direita para igualar casas)
  • Subtraindo: x-y=0,3839404142-0,3839409990=-0,0000005848.
  • Em notação científica (útil para ver a ordem de grandeza): x-y=-5{,}848\times10^{-7}.
Explicação didática rápida: os dois números são muito próximos (iguais nas primeiras casas), então a diferença é um número muito menor que cada um dos termos — isto é a causa da perda de dígitos significativos em subtrações entre números próximos.

Passo 3

Truncamento em 5 casas decimais antes da operação (regra: truncar, não arredondar).
  • Truncar significa cortar as casas além da quinta decimal e descartar o restante.
  • Para x=0,3839404142: as cinco primeiras casas decimais são 3,8,3,9,4, portanto x_{\text{trunc}}=0,38394.
  • Para y=0,383940999: as cinco primeiras casas decimais também são 3,8,3,9,4, portanto y_{\text{trunc}}=0,38394.
Observação didática: apesar de x e y serem diferentes depois da quinta casa, ao truncar em 5 casas ambos ficam exatamente iguais — já aí está explícita a perda de informação que causa cancelamento total.

Passo 4

Calcular a diferença usando os valores truncados:
x_{\text{trunc}}-y_{\text{trunc}}=0,38394-0,38394=0.
Comentário: o resultado truncado é exatamente zero — o que é drasticamente diferente do valor exato (que é pequeno, mas não nulo).

Passo 5

Calcular o erro absoluto e o erro relativo da aproximação truncada.
  • Erro absoluto: E_{\text{abs}}=\bigl|\,x-y-(x_{\text{trunc}}-y_{\text{trunc}})\bigr| =\bigl|-0,0000005848-0\bigr|=0,0000005848.Em notação científica: E_{\text{abs}}=5{,}848\times10^{-7}.
  • Erro relativo (definição usada: \dfrac{|\,\text{aprox}-\text{exato}\,|}{|\text{exato}|}): E_{\text{rel}}=\frac{E_{\text{abs}}}{|x-y|} =\frac{5{,}848\times10^{-7}}{5{,}848\times10^{-7}}=1.Em porcentagem: E_{\text{rel}}=1=100\%.
Explicação didática: o erro relativo igual a 1 significa que a aproximação (zero) está completamente errada em termos relativos — perdeu-se toda a informação do valor da diferença.

Passo 6

Interpretação sobre perda de dígitos significativos e conclusão prática para prova:
  • Os números x e y coincidem nas primeiras seis casas decimais (até a casa 10^{-6}); a diferença está na casa 10^{-7}. Ao truncar em 5 casas decimais, cortamos todas as casas onde os números diferem; portanto a subtração dos truncados resulta em zero. Isso é um caso clássico de “cancelamento catastrófico”: subtrair dois números muito próximos faz desaparecer as casas significativas, e qualquer aproximação grosseira (como truncamento cedo) pode anular o resultado.
  • Regra prática para a prova: quando tiver que subtrair números próximos, evite reduzir a precisão antes da operação. Se for inevitável (por limitações), trabalhe em notação científica ou mantenha guardas extras de precisão para não perder dígitos importantes.
  • Medida de perda: aqui a ordem de grandeza dos operandos é 10^{-1} e da diferença é 10^{-7}, ou seja a diferença é menor por fator aproximadamente 10^{6}. Isso indica perda de cerca de 6 dígitos significativos na operação de subtração.

Resposta

x-y=-0,0000005848
(x_{\text{trunc}}-y_{\text{trunc}})=0
Erro relativo =1 (ou 100\%)

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