Considerando as proposições
e
e a condicional
, analise as afirmativas abaixo a respeito da equivalência lógica.
I.
e sua recíproca são equivalentes.
II. a proposição contrária de
e
são equivalentes.
III. a proposição contrapositiva de
é equivalente à
.
Está(ão) correta(s) apenas a(s) afirmativa(s):
I.
II. a proposição contrária de
III. a proposição contrapositiva de
Está(ão) correta(s) apenas a(s) afirmativa(s):
Passo 1
Beleza, o exercício tá pedindo pra gente analisar três afirmativas sobre equivalência lógica da condicional
. O assunto é Lógica Proposicional e, pra resolver, a gente vai precisar entender bem três conceitos:
- Recíproca (ou converse): da condicional
é a proposição . - Proposição contrária (ou inversa): da condicional
é a proposição . - Contrapositiva: da condicional
é a proposição .
A partir do próximo passo, a gente vai testar cada afirmativa usando essas definições e, quando for útil, tabela-verdade.
Passo 2
Definindo rapidinho cada conceito:
- Para
, a recíproca é:
- A inversa (ou contrária) é:
- A contrapositiva é:
Sabendo isso, vamos olhar item por item.
Passo 3
Afirmativa I: “
e sua recíproca são equivalentes.”
- A recíproca de
é . - Em geral, a condicional e a recíproca só são equivalentes se rolar uma bicondicional forte entre
e . Mas no caso puro de lógica proposicional, a tabela-verdade mostra que e têm valores diferentes (por exemplo quando é F e é T um é verdadeiro e o outro falso).
Logo, I está errada.
Passo 4
Afirmativa II: “A proposição contrária de
e
são equivalentes.”
- A contrária (inversa) de
é . - A recíproca é
.
Vamos compararcom por tabela-verdade rápida:
p | q |
|
|
|
|
---|---|---|---|---|---|
T | T | F | F | T (pois F→F é T) | T (T→T) |
T | F | F | T | T (F→T é T) | T (F→T) |
F | T | T | F | F (T→F é F) | F (T→F) |
F | F | T | T | T (T→T é T) | T (F→F) |
Sempre coincidem! Então II está certa.
Passo 5
Afirmativa III: “A contrapositiva de
é equivalente à
.”
- A contrapositiva de
é, na verdade, . - A proposição
é a inversa, não a contrapositiva.
Logo(contrapositiva) não é a mesma coisa que .
Assim, III está errada.
Resposta
Apenas a afirmativa II está correta.