Considerando a tabela de pontos abaixo,encontre o valor aproximado de f(0.6) empregando interpolações na forma de resolução de sistemas lineares de ordem 2, 3 e 4.
x -1 0 1 2 3
f(x) 1 1 0 -1 -2

Passo 1

Beleza, aí vai o resumão: a gente tem uma tabela de pontos
x: –1, 0, 1, 2, 3
f(x): 1, 1, 0, –1, –2
E o que precisamos fazer é estimar f(0.6) construindo polinômios interpoladores de grau 2, 3 e 4 (ou seja, sistemas lineares de ordem 3×3, 4×4 e 5×5).
Conteúdo principal: interpolação polinomial (você monta um polinômio que passa pelos pontos e resolve o sistema para achar os coeficientes). Vamos montar cada sistema com base em
P₂(x)=ax²+bx+c,
P₃(x)=ax³+bx²+cx+d,
P₄(x)=ax⁴+bx³+cx²+dx+e.

Passo 2

Interpolação de 2º grau (polinômio P₂ com 3 pontos x=–1,0,1)
  1. Montamos as equações P₂(–1)=1, P₂(0)=1, P₂(1)=0:
    – Para x=–1: a·(–1)² + b·(–1) + c = 1 ⇒ a – b + c = 1
    – Para x=0: c = 1
    – Para x=1: a + b + c = 0
  2. Da segunda equação a gente já vê c=1. Substituindo em
    a – b + 1 = 1 ⇒ a – b = 0 ⇒ b = a,
    a + b + 1 = 0 ⇒ a + b = –1 ⇒ 2a = –1 ⇒ a = –½ ⇒ b = –½.
  3. Então
    P₂(x) = –½ x² – ½ x + 1.
  4. Avaliando em x=0.6:
    P₂(0.6) = –½·(0.6)² – ½·0.6 + 1
    = –½·0.36 – 0.3 + 1
    = –0.18 – 0.3 + 1
    = 0.52.

Passo 3

Interpolação de 3º grau (polinômio P₃ com 4 pontos x=–1,0,1,2)
  1. Sistema P₃(x)=ax³+bx²+cx+d, com:
    P₃(–1)=1 ⇒ –a + b – c + d = 1
    P₃(0)=1 ⇒ d = 1
    P₃(1)=0 ⇒ a + b + c + d = 0
    P₃(2)=–1 ⇒ 8a + 4b + 2c + d = –1
  2. Já pegamos d=1. As outras viram:
    –a + b – c = 0,
    a + b + c = –1,
    8a+4b+2c = –2.
    Resolvendo (substituições/matrizes) dá
    a = 1/6, b = –1/2, c = –2/3.
  3. Logo
    P₃(x) = (1/6)x³ – (1/2)x² – (2/3)x + 1.
  4. Avaliando em x=0.6:
    P₃(0.6) = (1/6)·0.216 – ½·0.36 – (2/3)·0.6 + 1
    ≈ 0.036 – 0.18 – 0.4 + 1
    = 0.456.

Passo 4

Interpolação de 4º grau (polinômio P₄ com todos os 5 pontos –1,0,1,2,3)
  1. P₄(x)=ax⁴+bx³+cx²+dx+e e o sistema:
    P₄(–1)=1 ⇒ a – b + c – d + e = 1
    P₄(0)=1 ⇒ e = 1
    P₄(1)=0 ⇒ a + b + c + d + e = 0
    P₄(2)=–1 ⇒ 16a+ 8b+ 4c+2d+ e = –1
    P₄(3)=–2 ⇒ 81a+27b+ 9c+3d+ e = –2
  2. Com e=1 e eliminando a,b,c,d dá, após resoluções,
    a = –1/24, b = 1/4, c = –11/24, d = –3/4.
  3. Fica
    P₄(x) = –1/24 x⁴ + 1/4 x³ – 11/24 x² – 3/4 x + 1.
  4. Avaliando em x=0.6:
    P₄(0.6) = –1/24·0.1296 + 1/4·0.216 – 11/24·0.36 – 3/4·0.6 + 1
    ≈ –0.0054 + 0.054 – 0.165 – 0.45 + 1
    = 0.4336.

Resposta

f(0.6) ≈
– Com polinômio de grau 2: 0.52
– Com polinômio de grau 3: 0.456
– Com polinômio de grau 4: 0.4336

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