Considerando a tabela de pontos abaixo,encontre o valor aproximado de
empregando interpolações na forma de resolução de sistemas lineares de ordem 2, 3 e 4.
x | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
---|---|---|---|---|---|
|
1 | 1 | 0 | -1 | -2 |
Passo 1
Beleza, aí vai o resumão: a gente tem uma tabela de pontos
x: –1, 0, 1, 2, 3
f(x): 1, 1, 0, –1, –2
E o que precisamos fazer é estimar f(0.6) construindo polinômios interpoladores de grau 2, 3 e 4 (ou seja, sistemas lineares de ordem 3×3, 4×4 e 5×5).
Conteúdo principal: interpolação polinomial (você monta um polinômio que passa pelos pontos e resolve o sistema para achar os coeficientes). Vamos montar cada sistema com base em
P₂(x)=ax²+bx+c,
P₃(x)=ax³+bx²+cx+d,
P₄(x)=ax⁴+bx³+cx²+dx+e.
x: –1, 0, 1, 2, 3
f(x): 1, 1, 0, –1, –2
E o que precisamos fazer é estimar f(0.6) construindo polinômios interpoladores de grau 2, 3 e 4 (ou seja, sistemas lineares de ordem 3×3, 4×4 e 5×5).
Conteúdo principal: interpolação polinomial (você monta um polinômio que passa pelos pontos e resolve o sistema para achar os coeficientes). Vamos montar cada sistema com base em
P₂(x)=ax²+bx+c,
P₃(x)=ax³+bx²+cx+d,
P₄(x)=ax⁴+bx³+cx²+dx+e.
Passo 2
Interpolação de 2º grau (polinômio P₂ com 3 pontos x=–1,0,1)
-
Montamos as equações P₂(–1)=1, P₂(0)=1, P₂(1)=0:
– Para x=–1: a·(–1)² + b·(–1) + c = 1 ⇒ a – b + c = 1
– Para x=0: c = 1
– Para x=1: a + b + c = 0 -
Da segunda equação a gente já vê c=1. Substituindo em
a – b + 1 = 1 ⇒ a – b = 0 ⇒ b = a,
a + b + 1 = 0 ⇒ a + b = –1 ⇒ 2a = –1 ⇒ a = –½ ⇒ b = –½. -
Então
P₂(x) = –½ x² – ½ x + 1. -
Avaliando em x=0.6:
P₂(0.6) = –½·(0.6)² – ½·0.6 + 1
= –½·0.36 – 0.3 + 1
= –0.18 – 0.3 + 1
= 0.52.
Passo 3
Interpolação de 3º grau (polinômio P₃ com 4 pontos x=–1,0,1,2)
-
Sistema P₃(x)=ax³+bx²+cx+d, com:
P₃(–1)=1 ⇒ –a + b – c + d = 1
P₃(0)=1 ⇒ d = 1
P₃(1)=0 ⇒ a + b + c + d = 0
P₃(2)=–1 ⇒ 8a + 4b + 2c + d = –1 -
Já pegamos d=1. As outras viram:
–a + b – c = 0,
a + b + c = –1,
8a+4b+2c = –2.Resolvendo (substituições/matrizes) dá
a = 1/6, b = –1/2, c = –2/3. -
Logo
P₃(x) = (1/6)x³ – (1/2)x² – (2/3)x + 1. -
Avaliando em x=0.6:
P₃(0.6) = (1/6)·0.216 – ½·0.36 – (2/3)·0.6 + 1
≈ 0.036 – 0.18 – 0.4 + 1
= 0.456.
Passo 4
Interpolação de 4º grau (polinômio P₄ com todos os 5 pontos –1,0,1,2,3)
-
P₄(x)=ax⁴+bx³+cx²+dx+e e o sistema:
P₄(–1)=1 ⇒ a – b + c – d + e = 1
P₄(0)=1 ⇒ e = 1
P₄(1)=0 ⇒ a + b + c + d + e = 0
P₄(2)=–1 ⇒ 16a+ 8b+ 4c+2d+ e = –1
P₄(3)=–2 ⇒ 81a+27b+ 9c+3d+ e = –2 -
Com e=1 e eliminando a,b,c,d dá, após resoluções,
a = –1/24, b = 1/4, c = –11/24, d = –3/4. -
Fica
P₄(x) = –1/24 x⁴ + 1/4 x³ – 11/24 x² – 3/4 x + 1. -
Avaliando em x=0.6:
P₄(0.6) = –1/24·0.1296 + 1/4·0.216 – 11/24·0.36 – 3/4·0.6 + 1
≈ –0.0054 + 0.054 – 0.165 – 0.45 + 1
= 0.4336.
Resposta
f(0.6) ≈
– Com polinômio de grau 2: 0.52
– Com polinômio de grau 3: 0.456
– Com polinômio de grau 4: 0.4336
– Com polinômio de grau 2: 0.52
– Com polinômio de grau 3: 0.456
– Com polinômio de grau 4: 0.4336