(1.0) - Considere f(x)=x^{3}+3 x-1 em que x \in R. A fim de que sejam obtidas as raízes da função f, vários métodos de cálculo numérico podem ser aplicados. Suponha que se esteja aplicando o princípio da bissecção para a determinação de uma raiz aproximada para a função f descrita acima e que, para isso, seja necessária a definição de um intervalo de busca inicial I, bem como uma primeira aproximação para a raiz x_{0} de f que se encontra em I. Nesse sentido, qual das opções a seguir apresenta uma definição correta de I e a aproximação \mathrm{x}_{\circ} associada, de acordo com o método da bissecção:
a) I=[-1 ;-0,5], x_{0}=-3,8125;
b) I=[-0,5 ; 0], x_{0}=-0,25;
c) I=[-1 ; 1], x_{0}=0,25;
d) I=[0 ; 0,5], x_{0}=0,25;
e) I=[-1 ; 0], x_{0}=-0,5;
Método da Bisseção: Método das Cordas: Método de Newton: Método da Secante:
c_{0}=\frac{a_{0}+b_{0}}{2} z_{0}=\frac{a \cdot f\left(b_{0}\right)-b \cdot f\left(a_{0}\right)}{f\left(b_{0}\right)-f\left(a_{0}\right)} z_{0}=a-\frac{f(a)}{f^{\prime}(a)} x_{2}=\frac{x_{0} \cdot f\left(x_{1}\right)-x_{1} \cdot f\left(x_{0}\right)}{f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{0}\right)}

Passo 1

O enunciado trata da busca de raiz de f(x)=x^3+3x-1 usando o método da bissecção. Para isso precisamos escolher um intervalo inicial I=[a,b] tal que f(a)\cdot f(b)<0 e definir a primeira aproximação como
x_0 = \frac{a+b}{2}.

Passo 2

Para aplicar o critério f(a)\cdot f(b)<0, avaliamos f(x) em alguns pontos-chaves. Como
f(x)=x^3+3x-1,
temos
f(-1) = (-1)^3 +3(-1)-1 = -5,\quad f(-0.5) = -0.125 -1.5 -1 = -2.625,
f(0) = -1,\quad f(0.5) = 0.125 +1.5 -1 = 0.625,\quad f(1)=1+3-1=3.

Passo 3

Agora verificamos cada alternativa:
Na alternativa a) I=[-1,-0.5]
f(-1)\,f(-0.5)=(-5)\cdot(-2.625)>0,
logo não há mudança de sinal. Além disso \frac{-1+(-0.5)}{2}=-0.75\neq-3.8125.
Na alternativa b) I=[-0.5,0]
f(-0.5)\,f(0)=(-2.625)\cdot(-1)>0,
sem mudança de sinal, então não serve.
Na alternativa c) I=[-1,1]
f(-1)\,f(1)=(-5)\cdot3<0,
há mudança de sinal, mas
\frac{-1+1}{2}=0\neq0.25,
portanto o x_0 está errado.
Na alternativa d) I=[0,0.5]
f(0)\,f(0.5)=(-1)\cdot0.625<0,
há mudança de sinal, e
x_0 = \frac{0+0.5}{2} = 0.25,
exatamente como proposto.
Na alternativa e) I=[-1,0]
f(-1)\,f(0)=(-5)\cdot(-1)>0,
sem mudança de sinal.

Passo 4

A única opção que satisfaz f(a)\,f(b)<0 e tem x_0=(a+b)/2 correta é a alternativa d).

Resposta

d) I=[0;0.5], x_0=0.25

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