5 { }^{\mathbf{a}} Questão: Resolva o sistema linear \left\{\begin{array}{ccccc}x & +y & +2 z & -5 w & =3 \\\\ 2 x & +5 y & -z & -9 w & =-3 \\\\ 2 x & +y & -z & +3 w & =-11 \\\ x & -3 y & +2 z & +7 w & =-5\end{array}\right..

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear
\begin{cases} x + y + 2z - 5w = 3,\\\\ 2x + 5y - z - 9w = -3,\\\\ 2x + y - z + 3w = -11,\\\ x - 3y + 2z + 7w = -5. \end{cases}
O conteúdo aqui é eliminação de Gauss para achar as soluções em função de um parâmetro.

Passo 2

Usamos a primeira equação para eliminar x das demais. Da segunda subtraímos 2 vezes a primeira, da terceira subtraímos 2 vezes a primeira e da quarta subtraímos 1 vez a primeira. Isso gera o sistema triangular em (y,z,w):
\begin{cases} 3y - 5z + w = -9,\\\\ -\,y - 5z +13w = -17,\\\\ -4y +12w = -8. \end{cases}

Passo 3

Da terceira equação obtemos
-4y +12w = -8 \quad\Longrightarrow\quad y - 3w = 2 \quad\Longrightarrow\quad y = 3w + 2.
Substituindo y na primeira das três:
3(3w+2) -5z + w = -9 \quad\Longrightarrow\quad 10w -5z = -15 \quad\Longrightarrow\quad 2w - z = -3 \quad\Longrightarrow\quad z = 2w + 3.

Passo 4

Voltando à primeira equação original
x + y +2z -5w =3,
substituímos y=3w+2 e z=2w+3:
x + (3w+2) +2(2w+3) -5w =3 \quad\Longrightarrow\quad x -2w -5 =0 \quad\Longrightarrow\quad x = -5 - 2w.

Passo 5

Introduzimos o parâmetro t para w, i.e. w = t. Então
x = -5 -2t,\quad y = 2 +3t,\quad z = 3 +2t,\quad w = t,\quad t\in\mathbb{R}.

Resposta

(x,y,z,w) = (-5-2t,\;2+3t,\;3+2t,\;t),\quad t\in\mathbb{R}.

Exercícios relacionados