Sendo P_{1}(x) o polinômio de interpolação linear de f(x) em a e b, determine c \in(a, b) de modo que
f(x)-P_{1}(x)=\frac{(x-a)(x-b)}{2} f^{(2)}\text{(c)}
para funções f(x) definidas como:
f(x)=x^{3}, com a=1 e b=2 e o ponto a ser interpolado \bar{x}=1,5;

Passo 1

O enunciado pede para achar c\in(a,b)=(1,2) tal que, para x=\bar x=1,5, valha
f(x)-P_{1}(x)=\frac{(x-a)(x-b)}{2}\,f''\text{(c)},
onde f(x)=x^3 e P_1 é o polinômio de grau 1 que interpola f em x=1 e x=2. Para isso vamos: (i) determinar P_1(x), (ii) calcular o erro f(1,5)-P_1(1,5), (iii) igualar ao termo \frac{(1,5-1)(1,5-2)}{2}f''\text{(c)} e (iv) resolver para c.

Passo 2

Os pontos de interpolação são (1,f(1))=(1,1) e (2,f(2))=(2,8). A inclinação de P_1 é
m=\frac{8-1}{2-1}=7,
e, como P_1(1)=1, temos
P_1(x)=1+7\,(x-1).

Passo 3

Em x=1,5 obtemos
P_1(1,5)=1+7\,(1,5-1)=1+7\cdot0,5=4,5,
e
f(1,5)=(1,5)^3=3,375.
Portanto o erro é
f(1,5)-P_1(1,5)=3,375-4,5=-1,125.

Passo 4

Pela fórmula do resto temos
-1,125=\frac{(1,5-1)(1,5-2)}{2}\,f''\text{(c)}.
Como (1,5-1)(1,5-2)/2=(0,5)(-0,5)/2=-0,125 e f''(x)=6x, segue
-1,125 = -0,125\,(6c)\quad\Longrightarrow\quad 6c = \frac{-1,125}{-0,125}=9,
logo c=9/6=1,5.

Passo 5

Verificamos que c=1,5 pertence a (1,2), conforme exigido.

Resposta

c = 1{,}5

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