4{ }^{\mathrm{a}} Questão: Um fabricante pode produzir óculos escuros por um custo unitário de \mathrm{R} \ 5,00 e estima que, se o preço de venda for x reais, serão vendidosçã100(20-x) óculos por dia. Que preço o fabricante deve cobrar par maximizar o lucro? (Lucroóç=$ Lucro unitário x quantidade).

Passo 1

O enunciado diz que o custo unitário de fabricação é de R$ 5,00 e que, ao cobrar um preço x em reais, a quantidade vendida por dia é
100(20 - x).
O lucro diário L é dado pelo lucro unitário vezes a quantidade vendida, ou seja,
L(x) = \bigl(x - 5\bigr)\cdot 100(20 - x).
Nosso objetivo é encontrar x que maximize L(x).

Passo 2

Vamos escrever L(x) como um polinômio de segundo grau. Primeiro expandimos:
L(x) = 100\,(x - 5)\,(20 - x)
L(x) = 100\bigl(20x - x^2 - 100 +5x\bigr)
L(x) = 100\bigl(-x^2 +25x -100\bigr)
L(x) = -100\,x^2 +2500\,x -10000.

Passo 3

Para achar o extremo, calculamos a derivada e igualamos a zero:
L'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(-100x^2 +2500x -10000\bigr) = -200\,x +2500.
Resolvendo L'(x)=0:
-200\,x +2500 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{2500}{200} = 12{,}50.

Passo 4

Verificamos que é máximo calculando a segunda derivada:
L''(x) = \frac{d}{dx}(-200x +2500) = -200 < 0,
ou seja, a parábola é côncava para baixo e x=12{,}50 realmente dá o lucro máximo.

Resposta

O fabricante deve cobrar \text{R\$ }12{,}50 por par de óculos para maximizar o lucro diário.

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