Sendo P_{1}(x) o polinômio de interpolação linear de f(x) em a e b, determine c \in(a, b) de modo que
f(x)-P_{1}(x)=\frac{(x-a)(x-b)}{2} f^{(2)}\text{(c)}
para funções f(x) definidas como:
f(x)=e^{-x}, com a=0,5 e b=1 e o ponto a ser interpolado \bar{x}=0,7.

Passo 1

O enunciado pede para a função f(x)=e^{-x}, com a=0,5, b=1 e ponto de interpolação \bar x=0,7, encontrarmos c\in(a,b) tal que
f(\bar x)-P_{1}(\bar x)=\frac{(\bar x-a)(\bar x-b)}{2}\,f''\text{(c)},
onde P_{1}(x) é o polinômio de grau 1 que interpola f em x=a e x=b. Vamos usar que
f'(x)=-e^{-x},\quad f''(x)=e^{-x}.

Passo 2

O polinômio de interpolação linear em a e b é
P_{1}(x)=f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\,(x-a).
Aqui
f(a)=e^{-0,5},\quad f(b)=e^{-1},\quad b-a=1-0,5=0,5,
logo a inclinação é
m=\frac{e^{-1}-e^{-0,5}}{0,5}.

Passo 3

Avaliamo-os em x=\bar x=0,7:
P_{1}(0,7)=e^{-0,5}+m\,(0,7-0,5),
f(0,7)=e^{-0,7}.
Numericamente,
e^{-0,5}\approx0,60653,\quad e^{-1}\approx0,36788\quad\Longrightarrow\quad m\approx\frac{0,36788-0,60653}{0,5}=-0,47730,
P_{1}(0,7)\approx0,60653-0,47730\times0,2=0,51107,
f(0,7)\approx0,49659,
então o erro é
f(0,7)-P_{1}(0,7)\approx0,49659-0,51107=-0,01448.

Passo 4

Pela fórmula do resto,
f(0,7)-P_{1}(0,7)=\frac{(0,7-0,5)(0,7-1)}{2}\,f''\text{(c)}.
O fator (0,7-0,5)(0,7-1)/2 vale
\frac{0,2\cdot(-0,3)}{2}=-0,03,
logo
f''\text{(c)}=\frac{f(0,7)-P_{1}(0,7)}{-0,03} \approx\frac{-0,01448}{-0,03}\approx0,48267.

Passo 5

Como f''(x)=e^{-x}, temos
e^{-c}=0,48267 \quad\Longrightarrow\quad c=-\ln(0,48267)\approx0,728.
Isso está dentro de (0,5,1), conforme exigido.

Resposta

c\approx0,728

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