Considere
. Mostre que:
Se
e
, então
.
Se
Passo 1
O enunciado dá claramente:
- Dados
. - Sabemos que
. - Sabemos que
.
O que nos pedem: mostrar que, a partir dessas informações, segue que
.
Passo 2
Uma manipulação algébrica simples deixa a desigualdade numa forma mais conveniente. Subtraindo
de ambos os lados obtemos
Usando fatoração, isso é equivalente a
Passo 3
Vamos provar a afirmação por contradição (um caminho bem direto e elementar). Suponha, para obter contradição, que
Como
e
são inteiros, dessa suposição segue que
é um inteiro estritamente positivo, portanto
Passo 4
Como dado temos
e
; logo também
. Multiplicando as duas desigualdades
e
obtemos, por propriedades usuais da multiplicação em inteiros,
ou seja,
Passo 5
Mas isso contraria a desigualdade obtida no Passo 2, que diz que
. Logo a suposição
leva a uma contradição. Portanto a suposição é falsa.
Passo 6
Conclui-se que não é possível ter
; como as únicas possibilidades para a relação entre
e
são
,
ou
, segue que necessariamente