Considere a, b, c \in \mathbb{Z}. Mostre que:
Se a \cdot c \leq b \cdot c e c>0, então a \leq b.

Passo 1

O enunciado dá claramente:
  • Dados a,b,c\in\mathbb{Z}.
  • Sabemos que c>0.
  • Sabemos que a\cdot c \leq b\cdot c.
O que nos pedem: mostrar que, a partir dessas informações, segue que a \leq b.

Passo 2

Uma manipulação algébrica simples deixa a desigualdade numa forma mais conveniente. Subtraindo b\cdot c de ambos os lados obtemos
a\cdot c - b\cdot c \leq 0.
Usando fatoração, isso é equivalente a
(a-b)\cdot c \leq 0.

Passo 3

Vamos provar a afirmação por contradição (um caminho bem direto e elementar). Suponha, para obter contradição, que
a > b.
Como a e b são inteiros, dessa suposição segue que a-b é um inteiro estritamente positivo, portanto
a-b \geq 1.

Passo 4

Como dado temos c>0 e c\in\mathbb{Z}; logo também c\geq 1. Multiplicando as duas desigualdades (a-b)\geq 1 e c\geq 1 obtemos, por propriedades usuais da multiplicação em inteiros,
(a-b)\cdot c \geq 1,
ou seja,
(a-b)\cdot c > 0.

Passo 5

Mas isso contraria a desigualdade obtida no Passo 2, que diz que (a-b)\cdot c \leq 0. Logo a suposição a>b leva a uma contradição. Portanto a suposição é falsa.

Passo 6

Conclui-se que não é possível ter a>b; como as únicas possibilidades para a relação entre a e b são a>b, a=b ou a<b, segue que necessariamente
a \leq b.

Resposta

a \leq b

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