Considere
. Mostre que:
Se
e
, então
.
Se
Passo 1
O enunciado dá explicitamente as seguintes informações:
-
(são inteiros). - Está dada a desigualdade
. - Está dada a condição
.
O que se pede mostrar é:
- A partir dessas hipóteses, provar que
.
Passo 2
Ideia básica que vamos usar (sem ainda provar): multiplicar por um número positivo preserva a desigualdade; multiplicar por um número negativo inverte a desigualdade. Para trabalhar de forma clara, defino
Como
, segue que
. Vou reescrever a desigualdade usando
para ficar com um multiplicador positivo e então deduzir
.
Passo 3
Reescrevendo a desigualdade com
:
multiplicando ambos os lados por
(isto é permitido e apenas troca o sinal em cada termo) obtemos
Agora, usando
, nota-se que
e
. Portanto a desigualdade fica
com
.
Passo 4
Prova do fato usado: “multiplicar uma desigualdade por um número positivo preserva a ordem”. Mais precisamente, se
e
com
, então
Demonstração rápida: se
então
. Como
, o produto
também é positivo, ou seja
. Mas
. Assim
, o que é equivalente a
. Essa é uma prova totalmente elementar válida para inteiros.
Passo 5
Aplicação da prova por contradição (cancelamento): temos
com
. Suponha, para obter contradição, que
. Pelas propriedades do passo anterior, multiplicando a desigualdade
por
obtém-se
o que contradiz a desigualdade já conhecida
. Portanto a suposição
é falsa, e só resta a alternativa
.
Passo 6
Resumo final do raciocínio em poucas linhas: com
a hipótese
torna-se
. Como multiplicar por
preserva desigualdades, a hipótese
levaria a
, contradizendo
. Logo
.