Considere a, b, c \in \mathbb{Z}. Mostre que:
Se a \cdot c \leq b \cdot c e c<0, então a \geq b.

Passo 1

O enunciado dá explicitamente as seguintes informações:
  • a,b,c\in\mathbb{Z} (são inteiros).
  • Está dada a desigualdade a\cdot c \leq b\cdot c.
  • Está dada a condição c<0.
O que se pede mostrar é:
  • A partir dessas hipóteses, provar que a \geq b.

Passo 2

Ideia básica que vamos usar (sem ainda provar): multiplicar por um número positivo preserva a desigualdade; multiplicar por um número negativo inverte a desigualdade. Para trabalhar de forma clara, defino
d := -c.
Como c<0, segue que d>0. Vou reescrever a desigualdade usando d para ficar com um multiplicador positivo e então deduzir a\ge b.

Passo 3

Reescrevendo a desigualdade com d=-c:
a\cdot c \le b\cdot c
multiplicando ambos os lados por -1 (isto é permitido e apenas troca o sinal em cada termo) obtemos
- a\cdot c \ge - b\cdot c.
Agora, usando d=-c, nota-se que -a\cdot c = a\cdot(-c)=a\cdot d e -b\cdot c = b\cdot d. Portanto a desigualdade fica
a\cdot d \ge b\cdot d,
com d>0.

Passo 4

Prova do fato usado: “multiplicar uma desigualdade por um número positivo preserva a ordem”. Mais precisamente, se x,y\in\mathbb{Z} e z\in\mathbb{Z} com z>0, então
x<y \quad\Rightarrow\quad xz<yz.
Demonstração rápida: se x<y então y-x>0. Como z>0, o produto (y-x)z também é positivo, ou seja (y-x)z>0. Mas (y-x)z=yz-xz. Assim yz-xz>0, o que é equivalente a xz<yz. Essa é uma prova totalmente elementar válida para inteiros.

Passo 5

Aplicação da prova por contradição (cancelamento): temos a d \ge b d com d>0. Suponha, para obter contradição, que a<b. Pelas propriedades do passo anterior, multiplicando a desigualdade a<b por d>0 obtém-se
a d < b d,
o que contradiz a desigualdade já conhecida a d \ge b d. Portanto a suposição a<b é falsa, e só resta a alternativa a\ge b.

Passo 6

Resumo final do raciocínio em poucas linhas: com d=-c>0 a hipótese ac\le bc torna-se ad\ge bd. Como multiplicar por d>0 preserva desigualdades, a hipótese a<b levaria a ad<bd, contradizendo ad\ge bd. Logo a\ge b.

Resposta

a\ge b

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