Considere o conjunto
. Demonstre que:
Se
, então
.
Se
Passo 1
O enunciado define o conjunto
(ou seja, o conjunto dos inteiros positivos) e pede que se mostre a afirmação seguinte: se
, então
.
Dados fornecidos e o que se pede:
Dados fornecidos e o que se pede:
- Dado:
e . - Dado:
e . - Pede-se: provar que o produto
também é um inteiro estritamente positivo (isto é, ), logo .
Passo 2
Estratégia que vou usar (sem avançar na prova ainda): interpretar a multiplicação de inteiros positivos como soma repetida e usar indução sobre
. Isto é natural e elementar:
é a soma de
parcelas iguais a
. Vou mostrar que somas de inteiros positivos são positivas e, por indução em
, concluir que
.
Passo 3
Observação útil (pequena afirmação auxiliar): se
e
são inteiros tais que
e
, então
. Explicação: como
e
são inteiros maiores que zero, nenhum deles pode ficar entre
e
, logo
e
. Portanto
. Assim a soma de dois inteiros positivos é positiva. Esta propriedade será usada no passo de indução.
Passo 4
Começo da prova por indução em
. Fixe
(ou seja,
) e prove que, para todo inteiro
, tem-se
.
Base da indução (
):
. Como
por hipótese, resulta que
. Assim a propriedade vale para
.
Passo 5
Passo indutivo: suponha que para algum
vale
(hipótese de indução). Precisa-se mostrar que
.
Usando a interpretação de multiplicação como soma repetida:
Pela hipótese de indução
e pela hipótese inicial
. Pela observação do Passo 3, a soma de dois inteiros positivos é positiva, logo
Portanto
. Isso completa o passo indutivo.
Passo 6
Pelo princípio da indução matemática, a propriedade vale para todo inteiro
: para todo
com
tem-se
. Como
é um inteiro (produto de inteiros) e é
, concluímos que
.