Considere o conjunto P=\{a \in \mathbb{Z}: a>0\}. Demonstre que:
Se a, b \in P, então a \cdot b \in P.

Passo 1

O enunciado define o conjunto P=\{a\in\mathbb{Z}: a>0\} (ou seja, o conjunto dos inteiros positivos) e pede que se mostre a afirmação seguinte: se a,b\in P, então a\cdot b\in P.
Dados fornecidos e o que se pede:
  • Dado: a\in\mathbb{Z} e a>0.
  • Dado: b\in\mathbb{Z} e b>0.
  • Pede-se: provar que o produto a\cdot b também é um inteiro estritamente positivo (isto é, a\cdot b>0), logo a\cdot b\in P.

Passo 2

Estratégia que vou usar (sem avançar na prova ainda): interpretar a multiplicação de inteiros positivos como soma repetida e usar indução sobre b. Isto é natural e elementar: a\cdot b é a soma de b parcelas iguais a a. Vou mostrar que somas de inteiros positivos são positivas e, por indução em b, concluir que a\cdot b>0.

Passo 3

Observação útil (pequena afirmação auxiliar): se u e v são inteiros tais que u>0 e v>0, então u+v>0. Explicação: como u e v são inteiros maiores que zero, nenhum deles pode ficar entre 0 e 1, logo u\ge 1 e v\ge 1. Portanto u+v\ge 1+1=2>0. Assim a soma de dois inteiros positivos é positiva. Esta propriedade será usada no passo de indução.

Passo 4

Começo da prova por indução em b. Fixe a\in P (ou seja, a>0) e prove que, para todo inteiro b\ge 1, tem-se a\cdot b>0.
Base da indução ( b=1): \,a\cdot 1=a. Como a>0 por hipótese, resulta que a\cdot 1>0. Assim a propriedade vale para b=1.

Passo 5

Passo indutivo: suponha que para algum k\ge 1 vale a\cdot k>0 (hipótese de indução). Precisa-se mostrar que a\cdot (k+1)>0.
Usando a interpretação de multiplicação como soma repetida:
a\cdot (k+1)=a\cdot k + a.
Pela hipótese de indução a\cdot k>0 e pela hipótese inicial a>0. Pela observação do Passo 3, a soma de dois inteiros positivos é positiva, logo
a\cdot k + a > 0.
Portanto a\cdot (k+1)>0. Isso completa o passo indutivo.

Passo 6

Pelo princípio da indução matemática, a propriedade vale para todo inteiro b\ge 1: para todo b\in\mathbb{Z} com b>0 tem-se a\cdot b>0. Como a\cdot b é um inteiro (produto de inteiros) e é >0, concluímos que a\cdot b\in P.

Resposta

a\cdot b\in P

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