Considere
e
três matrizes quadradas quaisquer de ordem
, com
e
, e analise as afirmativas abaixo:
I.
, para quaisquer matrizes
e
.
II.
.
somente se
ou
.
III.
, para quaisquer matrizes
e
.
IV.
, para quaisquer matrizes
e
.
V. Se
, então
Estão corretas apenas as afirmativas
I.
II.
III.
IV.
V. Se
Estão corretas apenas as afirmativas
Passo 1
Beleza, o enunciado diz: temos três matrizes quadradas
de ordem
. Querem saber quais afirmativas são verdadeiras.
Conteúdo: Álgebra Linear (operações com matrizes e determinantes).
O que a gente vai precisar:
Conteúdo: Álgebra Linear (operações com matrizes e determinantes).
O que a gente vai precisar:
- Propriedades da multiplicação de matrizes (distributiva, não comutativa em geral, mas sempre associativa).
- Propriedade de determinante:
, , .
Passo 2
Analisando a afirmativa I:
para quaisquer matrizes.
Teoria aplicada: O produto é distributivo, mas não é comutativo. Se você expandir:
Teoria aplicada: O produto é distributivo, mas não é comutativo. Se você expandir:
Para dar
, precisaríamos que
, ou seja
. Como
e
nem sempre comutam, essa afirmação é falsa.
Passo 3
Afirmativa II:
somente se
ou
.
Teoria: Matriz pode ser divisor de zero; não é domínio de integridade. Existem matrizes não nulas cujo produto é a matriz zero.
Exemplo simples em :
Teoria: Matriz pode ser divisor de zero; não é domínio de integridade. Existem matrizes não nulas cujo produto é a matriz zero.
Exemplo simples em
mas
e
. Logo, II é falsa.
Passo 4
Afirmativa III:
para quaisquer
.
Teoria: Produto de matrizes é sempre associativo. Não precisa de mais nada: isso vale para todo tamanho compatível.
Portanto, III é verdadeira.
Teoria: Produto de matrizes é sempre associativo. Não precisa de mais nada: isso vale para todo tamanho compatível.
Portanto, III é verdadeira.
Passo 5
Afirmativa IV:
.
Teoria: Essa é a propriedade fundamental do determinante. Vale para quaisquer matrizes quadradas.
Logo, IV é verdadeira.
Teoria: Essa é a propriedade fundamental do determinante. Vale para quaisquer matrizes quadradas.
Logo, IV é verdadeira.
Passo 6
Afirmativa V:
Se , então
.
Vamos usar duas propriedades:
Se
Vamos usar duas propriedades:
-
. -
.
Então
Isso casa com o que foi afirmado, então V é verdadeira.
Resposta
As afirmativas corretas são III, IV e V.