Considere A, B e C três matrizes quadradas quaisquer de ordem n, com n in N e n>1, e analise as afirmativas abaixo:
I. (A+B)(A-B)=A^2-B^2, para quaisquer matrizes A e B.
II. A. B=0 somente se A=0 ou B=0.
III. A (B C)=(A B) C, para quaisquer matrizes A, B e C.
IV. det(A cdot B)=(det A) (det B), para quaisquer matrizes A e B.
V. Se det A=2, então det(2 A^-1)=2^n-1
Estão corretas apenas as afirmativas

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: temos três matrizes quadradas de ordem . Querem saber quais afirmativas são verdadeiras.
Conteúdo: Álgebra Linear (operações com matrizes e determinantes).
O que a gente vai precisar:
  • Propriedades da multiplicação de matrizes (distributiva, não comutativa em geral, mas sempre associativa).
  • Propriedade de determinante: , , .

Passo 2

Analisando a afirmativa I:
(A+B)(A-B)=A^2 - AB + BA - B^2 para quaisquer matrizes.
Teoria aplicada: O produto é distributivo, mas não é comutativo. Se você expandir:
Para dar , precisaríamos que , ou seja . Como e nem sempre comutam, essa afirmação é falsa.

Passo 3

Afirmativa II:
A = 1&00&0, B = 0&00&1 Longrightarrow AB = 0, somente se ou .
Teoria: Matriz pode ser divisor de zero; não é domínio de integridade. Existem matrizes não nulas cujo produto é a matriz zero.
Exemplo simples em :
mas e . Logo, II é falsa.

Passo 4

Afirmativa III:
para quaisquer .
Teoria: Produto de matrizes é sempre associativo. Não precisa de mais nada: isso vale para todo tamanho compatível.
Portanto, III é verdadeira.

Passo 5

Afirmativa IV:
.
Teoria: Essa é a propriedade fundamental do determinante. Vale para quaisquer matrizes quadradas.
Logo, IV é verdadeira.

Passo 6

Afirmativa V:
Se det(2A^-1) =2^ndet(A^-1) =2^ncdot1det A =2^ncdot12 =2^n-1 , então .
Vamos usar duas propriedades:
  1. .
  2. .
    Então
Isso casa com o que foi afirmado, então V é verdadeira.

Resposta

As afirmativas corretas são III, IV e V.

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