Considere a cadeia de símbolos binários a seguir.
0100100000000110
A cadeia corresponde a um número na representação digital com padrão de 16 bits original. Nesse padrão é possível ter o primeiro símbolo significativo após ou antes do separador fracionário.
Considerando o primeiro símbolo significativo antes do separador fracionário, complete com o correspondente decimal utilizando notação de ponto-fixo com seis casas decimais.
Considerando o primeiro símbolo significativo após o separador fracionário, complete com o correspondente decimal utilizando notação de ponto-fixo com seis casas decimais.

Passo 1

O enunciado nos dá a cadeia de 16 bits
0100100000000110
e pede duas interpretações em ponto-fixo com seis casas decimais:
– na primeira, colocamos o primeiro “1” exatamente antes do separador binário (ou seja, com peso 2^0);
– na segunda, colocamos esse mesmo “1” exatamente após o separador (ou seja, com peso 2^{-1}).
Para ambas, vamos identificar a posição do primeiro “1” e escrever a soma das potências de 2 correspondentes.

Passo 2

Na cadeia os bits estão indexados de j=0 (mais à esquerda) até j=15 (mais à direita). O primeiro “1” aparece em j=1.
  1. Quando esse bit tem peso 2^0, o valor é
V_1 \;=\;\sum_{j=1}^{15} b_j\,2^{(1-j)},
onde b_j é o j-ésimo bit da cadeia.
Os termos não nulos são
b_1\cdot2^{0}=1,\quad b_4\cdot2^{-3}=2^{-3}=0{,}125,\quad b_{13}\cdot2^{-12}=2^{-12}\approx0{,}000244140625,\quad b_{14}\cdot2^{-13}=2^{-13}\approx0{,}0001220703125.
Somando e arredondando a seis casas decimais:
V_1 = 1 + 0{,}125 + 0{,}000244140625 + 0{,}0001220703125 \approx 1{,}1253662109375 \;\longrightarrow\;1{,}125366.

Passo 3

  1. Quando o primeiro “1” tem peso 2^{-1}, o valor é
V_2 \;=\;\sum_{j=1}^{15} b_j\,2^{(1-j-1)} \;=\;\sum_{j=1}^{15} b_j\,2^{-j}.
Os termos não nulos são
b_1\cdot2^{-1}=0{,}5,\quad b_4\cdot2^{-4}=2^{-4}=0{,}0625,\quad b_{13}\cdot2^{-13}\approx0{,}0001220703125,\quad b_{14}\cdot2^{-14}\approx0{,}00006103515625.
Somando e arredondando a seis casas decimais:
V_2 = 0{,}5 + 0{,}0625 + 0{,}0001220703125 + 0{,}00006103515625 \approx 0{,}56268310546875 \;\longrightarrow\;0{,}562683.

Resposta

Primeiro “1” antes do separador: 1,125366
Primeiro “1” após o separador: 0,562683

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