Duas pessoas desejam se comunicar usando um código. O código é definido fazendo uma conversão entre as letras e sua posição na ordem alfabética como mostrado a seguir:
Posição -> Letra
1 -> A
2 -> B
3 -> C
4-> D
5 -> E
6 -> F
7 -> G
8 -> H
9 ->।
10 -> J
11 -> K
12 -> L
13 -> M
14 -> N
15 -> O
16->P
17 -> Q
18 -> R
19 -> S
20 -> T
21 -> U
22 -> V
23 -> W
24 -> X
25->Y
26 -> Z
Uma mensagem é construída de forma que cada linha mostra a posição de uma letra. Mas, para aumentar a segurança da mensagem, a posição é mostrada na base 3. Com isso, considere a seguinte mensagem, que contém apenas uma palavra (com 4 letras):
1
111
1
200
Complete a lacuna com a palavra contida na mensagem. Utilize apenas letras minúsculas.
Para aumentar ainda mais a segurança da mensagem é computado um valor \alpha que é a soma dos valores (na base 10) das posições, no alfabeto ( \mathrm{A}= 1, B=2, C=3, \ldots ), de cada letra que compõe a mensagem. O valor \alpha, então, é convertido para a base 7. Para a mensagem apresentada, preencha com valor de \alpha na base 7.

Passo 1

O código faz correspondência entre letras e posições no alfabeto A=1, \dots, Z=26, mas a mensagem apresenta cada posição em base 3. Temos quatro linhas:
1,\quad 111,\quad 1,\quad 200.
Vamos decodificar essas quatro representações para formar a palavra e depois calcular \alpha, a soma das posições em decimal, convertendo-a para base 7.

Passo 2

Converter cada número de base 3 para decimal:
1_3 = 1, \quad 111_3 = 1\cdot3^2 + 1\cdot3^1 + 1\cdot3^0 = 9 + 3 + 1 = 13,
1_3 = 1, \quad 200_3 = 2\cdot3^2 + 0\cdot3^1 + 0\cdot3^0 = 2\cdot9 = 18.

Passo 3

Mapear cada valor decimal para a letra correspondente:
1 \to A,\quad 13 \to M,\quad 1 \to A,\quad 18 \to R.
A palavra resultante é “AMAR”, portanto em minúsculas: amar.

Passo 4

Calcular \alpha como a soma das posições em decimal:
\alpha = 1 + 13 + 1 + 18 = 33.

Passo 5

Converter \alpha = 33 (decimal) para base 7. Dividindo por 7:
33 \div 7 = 4 \text{ resto } 5,
logo em base 7 temos \alpha = 45_7.

Resposta

amar
45

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