Considere o polinômio \mathrm{P}(\mathrm{x})=-5.0 \mathrm{x}^4-2.0 \mathrm{x}^3-7.0 \mathrm{x}^2-2.0 \mathrm{x}+7.0.
Seja \alpha a raiz de maior módulo de \mathrm{P}(\mathrm{x}). Utilizando a cota do módulo máximo é possível afirmar que o módulo de \alpha não ultrapassa M1. Preencha com o valor de M1, com quatro casas decimais de precisão e notação em ponto-fixo.
\mathrm{M}_{1}= ?
Utilizando cota de Kojima é possível afirmar que o módulo de \alpha não ultrapassa M2. Preencha com o valor de M2, com quatro casas decimais de precisão e notação em ponto-fixo.
\mathrm{M}_{2}= ?

Passo 1

O enunciado dá o polinômio
P(x) = -5.0\,x^4 \;-\;2.0\,x^3 \;-\;7.0\,x^2 \;-\;2.0\,x \;+\;7.0
e pede duas cotas para o módulo da raiz de maior módulo \alpha:
  1. A cota de Cauchy, que fornece
|\alpha|\le M_{1}=1+\max_{i<4}\Bigl|\frac{a_i}{a_4}\Bigr|.
  1. A cota de Kojima, que fornece
|\alpha|\le M_{2}=\max_{i<4}\Bigl|\frac{a_i}{a_4}\Bigr|^{1/(4-i)}.

Passo 2

Para aplicar a cota de Cauchy identifique o coeficiente líder a_4=-5.0 e os demais a_3=-2.0, a_2=-7.0, a_1=-2.0, a_0=7.0. Calcule
\max_{i<4}\Bigl|\frac{a_i}{a_4}\Bigr| =\max\Bigl\{\tfrac{|-2.0|}{5.0},\,\tfrac{|-7.0|}{5.0},\,\tfrac{|-2.0|}{5.0},\,\tfrac{|7.0|}{5.0}\Bigr\} =\max\{0.4,\,1.4,\,0.4,\,1.4\} =1.4.
Logo
M_{1}=1+1.4=2.4,
e em notação ponto-fixo com quatro casas decimais:
M_{1}=2.4000.

Passo 3

Para aplicar a cota de Kojima calcule para cada i=0,1,2,3 o valor
\Bigl|\tfrac{a_i}{a_4}\Bigr|^{1/(4-i)}.
Isso dá:
\begin{aligned} i=3:&\;\bigl|\tfrac{-2.0}{-5.0}\bigr|^{1/1}=0.4,\\\ i=2:&\;\bigl|\tfrac{-7.0}{-5.0}\bigr|^{1/2}=\sqrt{1.4}\approx1.1832,\\\ i=1:&\;\bigl|\tfrac{-2.0}{-5.0}\bigr|^{1/3}=\sqrt[3]{0.4}\approx0.7368,\\\ i=0:&\;\bigl|\tfrac{7.0}{-5.0}\bigr|^{1/4}=(1.4)^{1/4}\approx1.0886. \end{aligned}
O máximo desses valores é \sqrt{1.4}\approx1.1832. Portanto, em ponto-fixo com quatro casas decimais:
M_{2}=1.1832.

Resposta

M_{1}=2.4000 M_{2}=1.1832

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