Exercício 6. Seja f(x)=2^{x}-3 x^{2}.
(a) Determine um intervalo contendo um zero de f;
(b) Faça 4 iterações.
(b) Usando o método da bisseção calcule quantas iterações são necessárias para determinar este zero com erro inferior a 10^{-3};

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=2^{x}-3x^{2}
e pede:
(a) um intervalo que contenha uma raiz de f;
(b) executar 4 iterações do método da bisseção nesse intervalo;
(c) determinar quantas iterações são necessárias para obter erro abaixo de 10^{-3}.
Para resolver, vamos usar o teorema do valor intermediário para achar um intervalo inicial e depois aplicar o método da bisseção, cujo erro máximo após n iterações satisfaz
\bigl|x_n - x^*\bigr|\le\frac{b-a}{2^n},
onde [a,b] é o intervalo inicial e x^* é a raiz.

Passo 2

Procuramos a e b tais que f(a) e f(b) tenham sinais opostos.
Calculamos
f(0)=2^{0}-3\cdot0^{2}=1>0,
f(1)=2^{1}-3\cdot1^{2}=2-3=-1<0.
Como f(0)\cdot f(1)<0, o teorema do valor intermediário garante ao menos uma raiz em [0,1].

Passo 3

Agora aplicamos 4 iterações da bisseção em [0,1]:
Iteração 1
m_{1}=\frac{0+1}{2}=0.5,
f(0.5)=2^{0.5}-3(0.5)^{2}\approx1.4142-0.75=0.6642>0.
Como f(m_{1})>0 e f(1)<0, o novo intervalo é [0.5,1].
Iteração 2
m_{2}=\frac{0.5+1}{2}=0.75,
f(0.75)=2^{0.75}-3(0.75)^{2}\approx1.6818-1.6875=-0.0057<0.
Agora f(0.5)>0 e f(m_{2})<0, logo o intervalo vira [0.5,0.75].
Iteração 3
m_{3}=\frac{0.5+0.75}{2}=0.625,
f(0.625)=2^{0.625}-3(0.625)^{2}\approx1.5414-1.1719=0.3695>0.
O intervalo passa a ser [0.625,0.75].
Iteração 4
m_{4}=\frac{0.625+0.75}{2}=0.6875,
f(0.6875)=2^{0.6875}-3(0.6875)^{2}\approx1.6106-1.41797=0.1926>0.
Portanto o intervalo final, após 4 iterações, é [0.6875,0.75].

Passo 4

Para garantir erro menor que 10^{-3}, usamos o fato de que após n iterações o erro máximo é
\frac{b-a}{2^n}=\frac{1-0}{2^n}=\frac{1}{2^n}<10^{-3}.
Queremos
2^n>10^3=1000\quad\Longrightarrow\quad n>\frac{\ln(1000)}{\ln(2)}\approx9{,}97.
Assim, são necessárias n=10 iterações para \frac1{2^{n}}<10^{-3}.

Resposta

(a) [0,1]
(b) Após 4 iterações o intervalo é [0.6875,0.75]
(c) São necessárias 10 iterações para erro inferior a 10^{-3}.

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