Exercício 6. Seja f(x)=2^{x}-3 x^{2}.
(a) Determine um intervalo contendo um zero de f;
(b) Faça 4 iterações.
(b) Usando o método da bisseção calcule quantas iterações são necessárias para determinar este zero com erro inferior a 10^{-3};
Passo 1
O enunciado dá a função
f(x)=2^{x}-3x^{2}
e pede:
(a) um intervalo que contenha uma raiz de f;
(b) executar 4 iterações do método da bisseção nesse intervalo;
(c) determinar quantas iterações são necessárias para obter erro abaixo de 10^{-3}.
Para resolver, vamos usar o teorema do valor intermediário para achar um intervalo inicial e depois aplicar o método da bisseção, cujo erro máximo após n iterações satisfaz
\bigl|x_n - x^*\bigr|\le\frac{b-a}{2^n},
onde [a,b] é o intervalo inicial e x^* é a raiz.
Passo 2
Procuramos a e b tais que f(a) e f(b) tenham sinais opostos.
Calculamos
f(0)=2^{0}-3\cdot0^{2}=1>0,
f(1)=2^{1}-3\cdot1^{2}=2-3=-1<0.
Como f(0)\cdot f(1)<0, o teorema do valor intermediário garante ao menos uma raiz em [0,1].