Considere o conjunto de pontos (1,1),(4,2) e (6,3). Obtenha uma função de primeiro grau, que melhor se ajusta ao conjunto de pontos dado usando o método dos mínimos quadrados.

Passo 1

O enunciado dá três pontos (1,1), (4,2) e (6,3) e pede uma reta de primeiro grau que melhor se ajusta a esses pontos pelo método dos mínimos quadrados. Vamos tratar de encontrar uma função
y = a x + b
cujo erro quadrático total seja mínimo.

Passo 2

Definimos a soma dos quadrados dos resíduos como
S(a,b) = \sum_{i=1}^{3}\bigl(y_i - (a\,x_i + b)\bigr)^{2}
e impomos as condições de mínimo fazendo as derivadas parciais zero:
\frac{\partial S}{\partial a} = 0 \quad\text{e}\quad \frac{\partial S}{\partial b} = 0.
Isso leva ao sistema normal abaixo.

Passo 3

Calculamos os somatórios necessários:
\sum x_i = 1 + 4 + 6 = 11,\quad \sum y_i = 1 + 2 + 3 = 6,
\sum x_i^2 = 1^2 + 4^2 + 6^2 = 53,\quad \sum x_i y_i = 1\cdot1 + 4\cdot2 + 6\cdot3 = 27.

Passo 4

As equações normais são
a\sum x_i^2 + b\sum x_i = \sum x_i y_i,
a\sum x_i + b\cdot 3 = \sum y_i.
Substituindo os somatórios:
53\,a + 11\,b = 27,
11\,a + 3\,b = 6.

Passo 5

Da segunda equação isolamos b:
b = \frac{6 - 11\,a}{3} = 2 - \frac{11}{3}a.
Substituindo na primeira:
53\,a + 11\Bigl(2 - \tfrac{11}{3}a\Bigr) = 27 \;\Longrightarrow\; 38\,a = 15 \;\Longrightarrow\; a = \frac{15}{38}.
Então
b = 2 - \frac{11}{3}\cdot\frac{15}{38} = 2 - \frac{165}{114} = \frac{21}{38}.

Resposta

A reta de mínimos quadrados que melhor ajusta os pontos é
y = \frac{15}{38}\,x + \frac{21}{38}.

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