Determine o passo de integração h para que se possa avaliar \int_{0}^{3} \sin (x) d x com erro inferior a 10^{-4} pela regra dos trapézios repetida.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar
\int_{0}^{3}\sin(x)\,dx
pela regra dos trapézios composta de modo que o erro seja menor que 10^{-4}.
Vamos usar o erro máximo da regra dos trapézios repetida, que envolve o segundo derivado de \sin(x) e o tamanho de passo h.

Passo 2

Para a regra dos trapézios composta no intervalo [a,b] com passo h vale o estimador de erro
|E_T|\le \frac{b-a}{12}\,h^2\,\max_{x\in[a,b]}|f''(x)|.
Aqui f(x)=\sin(x), logo
f''(x)=-\sin(x) \quad\Longrightarrow\quad \max_{x\in[0,3]}|f''(x)|=1.

Passo 3

No nosso caso a=0, b=3 e \max|f''|=1, então
|E_T|\le \frac{3-0}{12}\,h^2=\frac{1}{4}\,h^2.
Queremos \tfrac14h^2\le10^{-4}. Resolvend o para h:
h^2\le4\times10^{-4} \quad\Longrightarrow\quad h\le\sqrt{4\times10^{-4}}=2\times10^{-2}.

Passo 4

Portanto, basta escolher
h=0,02
ou menor. Se quisermos um número inteiro de subintervalos, tomamos
n=\frac{b-a}{h}=\frac{3}{0,02}=150.

Resposta

O passo de integração deve satisfazer
h\le0,02,
por exemplo h=0,02 (correspondendo a n=150 trapézios).

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