Determine o tamanho do passo de integração teórico para que se possa avaliar \int_{0}^{3} \cos (x) d x com erro menor do que 10^{-4} usando a Regra dos Trapézios repetida.

Passo 1

O enunciado pede determinar o passo de integração h para que a avaliação de
\int_{0}^{3}\cos(x)\,dx
pela Regra dos Trapézios composta tenha erro menor que 10^{-4}.

Passo 2

Para a Regra dos Trapézios composta em [a,b] com passo h, o erro satisfaz
|E_T|\le \frac{(b-a)}{12}\,h^2\,\max_{x\in[a,b]}|f''(x)|.

Passo 3

Aqui f(x)=\cos(x), logo
f''(x)=-\cos(x)
e em [0,3] vale
\max_{x\in[0,3]}|f''(x)|=1.

Passo 4

Substituindo a=0, b=3 e impondo |E_T|\le10^{-4}, obtemos
\frac{3}{12}\,h^2 \le 10^{-4} \quad\Longrightarrow\quad h^2 \le 4\times10^{-4} \quad\Longrightarrow\quad h \le 2\times10^{-2}.

Resposta

O passo de integração deve satisfazer
h \le 2\times10^{-2}.

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