Questão 4.

Resolva o sistema linear, usando o processo de eliminaçio de Gauss (sem pinoremanento)
\left\{\begin{array}{l} 3 x_{1}+4 x_{2}+x_{3}=13 \\\\ 2 x_{1}-2 x_{2}+3 x_{3}=11 \\\ x_{1}+x_{2}-2 x_{3}=-3 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear
\begin{cases} 3x_{1}+4x_{2}+x_{3}=13,\\\\ 2x_{1}-2x_{2}+3x_{3}=11,\\\ x_{1}+x_{2}-2x_{3}=-3 \end{cases}
usando o método de eliminação de Gauss sem pivotamento. Vamos montar a matriz aumentada e aplicar operações de linha para triangularizar.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada do sistema:
\left[\begin{array}{ccc|c} 3 & 4 & 1 & 13\\\\ 2 & -2 & 3 & 11\\\\ 1 & 1 & -2 & -3 \end{array}\right]

Passo 3

Eliminamos x_{1} de L_{2} e L_{3} usando L_{2}\leftarrow L_{2}-\tfrac{2}{3}L_{1} e L_{3}\leftarrow L_{3}-\tfrac{1}{3}L_{1}.
Após os cálculos a matriz fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 3 & 4 & 1 & 13\\\\ 0 & -\tfrac{14}{3} & \tfrac{7}{3} & \tfrac{7}{3}\\\\ 0 & -\tfrac{1}{3} & -\tfrac{7}{3} & -\tfrac{22}{3} \end{array}\right]

Passo 4

Eliminamos x_{2} de L_{3} com L_{3}\leftarrow L_{3}-\tfrac{1/(-3)}{\,-14/3\,}L_{2}=L_{3}-\tfrac{1}{14}L_{2}.
O terceiro pivô resulta em
\left[\begin{array}{ccc|c} 3 & 4 & 1 & 13\\\\ 0 & -\tfrac{14}{3} & \tfrac{7}{3} & \tfrac{7}{3}\\\\ 0 & 0 & -\tfrac{5}{2} & -\tfrac{15}{2} \end{array}\right]

Passo 5

Do terceiro pivô temos
-\tfrac{5}{2}\,x_{3}=-\tfrac{15}{2}
x_{3}=3.
Substituindo em L_{2}:
-\tfrac{14}{3}\,x_{2}+\tfrac{7}{3}\cdot3=\tfrac{7}{3}
-\tfrac{14}{3}\,x_{2}=\tfrac{7}{3}-7=-\tfrac{14}{3}
x_{2}=1.

Passo 6

Substituímos x_{2}=1 e x_{3}=3 em L_{1}:
3x_{1}+4\cdot1+1\cdot3=13
3x_{1}+7=13
x_{1}=2.

Resposta

x_{1}=2,\;x_{2}=1,\;x_{3}=3.

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