Considere a equação f(x)=\cos (x)-x, e o intérvalo [0,1]. Mostre que f(x) muda de sinal nesse intervalò e aplique duas iterações da bisseção. Esse tipo de função pode surgir em situações de equilibrio em sistemás físicos.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)=\cos(x)-x
no intervalo [0,1] e pede para mostrar que há mudança de sinal (garantindo existência de raiz pelo teorema de Bolzano) e em seguida realizar duas iterações do método da bisseção para aproximar essa raiz. Vamos usar critérios de sinal em extremidades e, depois, cada etapa do método da bisseção.

Passo 2

Calculamos os valores de f nas extremidades do intervalo:
f(0)=\cos(0)-0=1-0=1>0,
f(1)=\cos(1)-1\approx0{,}5403-1=-0{,}4597<0.
Como f(0) é positivo e f(1) é negativo, há mudança de sinal em [0,1] e, pelo teorema de Bolzano, existe ao menos uma raiz em (0,1).

Passo 3

Primeira iteração da bisseção:
  1. Definimos o ponto médio
m_1=\frac{0+1}{2}=0{,}5.
  1. Avaliamos
f(0{,}5)=\cos(0{,}5)-0{,}5\approx0{,}87758-0{,}5=0{,}37758>0.
Como f(0{,}5)>0 e f(1)<0, a raiz pertence ao subintervalo [0{,}5,1].

Passo 4

Segunda iteração da bisseção no intervalo [0{,}5,1]:
  1. Definimos o novo ponto médio
m_2=\frac{0{,}5+1}{2}=0{,}75.
  1. Avaliamos
f(0{,}75)=\cos(0{,}75)-0{,}75\approx0{,}73169-0{,}75=-0{,}01831<0.
Como f(0{,}5)>0 e f(0{,}75)<0, a raiz está em [0{,}5,0{,}75].

Resposta

Após duas iterações da bisseção, sabemos que a raiz de \cos(x)-x=0 está no intervalo
[0{,}5,\,0{,}75]
e as aproximações sucessivas foram m_1=0{,}5 e m_2=0{,}75.

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