Considere a equação
.
(a)Calcule as raízes desta equação por meio da fórmula de Sridhara-Bhaskara-Viéte utilizando o arredondamento para dois algarismos significativos.
(b) Calcule as raízes aproximadas dessa equação utilizando os métodos da bissecção e de Newton-Raphson, com precisão de
. Considere o erro relativo.
(c) Compare os resultados do item (a) e (b) utilizando o erro relativo considerando as seguintes raízes aproximadas:
e
, da equação.
(a)Calcule as raízes desta equação por meio da fórmula de Sridhara-Bhaskara-Viéte utilizando o arredondamento para dois algarismos significativos.
(b) Calcule as raízes aproximadas dessa equação utilizando os métodos da bissecção e de Newton-Raphson, com precisão de
(c) Compare os resultados do item (a) e (b) utilizando o erro relativo considerando as seguintes raízes aproximadas:
Passo 1
O enunciado dá a equação quadrática
e pede três coisas:
- (a) Calcular as raízes usando a fórmula de Sridhara–Bhaskara–Viète (a fórmula quadrática), com arredondamento para dois algarismos significativos.
- (b) Calcular as raízes aproximadas usando os métodos da bissecção e de Newton–Raphson, com precisão de
(critério pelo erro relativo). - (c) Comparar os resultados dos itens (a) e (b) com as seguintes raízes de referência fornecidas:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Coeficientes:
, , . - Usar erro relativo para critérios de parada em (b) e para comparar em (c).
- Em (a) é exigido arredondamento para dois algarismos significativos (vou interpretar como: apresentar as raízes finais arredondadas com dois algarismos significativos).
A resolução começará agora.
Passo 2
Relembrando a fórmula quadrática (Sridhara–Bhaskara): para a equação
, as raízes são
Explicando cada símbolo:
-
é o coeficiente do termo quadrático (aqui ). -
é o coeficiente do termo linear (aqui ). -
é o termo constante (aqui ). -
é o discriminante; se há duas raízes reais distintas.
Vou calcular, a raiz quadrada de e então as raízes. Em seguida mostro por que, numericamente, é melhor calcular a raiz de maior módulo com uma certa fórmula e obter a outra via Viète (para evitar cancelamento numérico).
Passo 3
Calcular o discriminante e sua raiz:
Calculemos
:
Logo
Agora a raiz quadrada:
(Isto foi obtido por aproximação numérica; é o valor que será usado nas contas seguintes.)
Passo 4
Aplicando a fórmula direta temos as duas raízes (expondo a conta para ficar bem didático):
Observação numérica importante (problema clássico de cancelamento): ao calcular
com a expressão
acontece subtração de dois números grandes e muito próximos, o que pode causar perda de dígitos significativos. Para evitar isso, usa-se a identidade de Viète: se
e
são raízes então
. Assim, é mais estável computar a raiz de maior módulo diretamente pela versão da fórmula que usa o sinal que evita cancelamento e depois obter a outra por
No nosso caso a raiz de maior módulo é aproximadamente
. A forma numericamente estável para ela é
e então
Iremos agora aplicar o arredondamento pedido.
Passo 5
Arredondamento para dois algarismos significativos (interpretação adotada: apresentar as raízes finais com dois algarismos significativos).
- Para
: os dois primeiros algarismos significativos são e , portanto arredondando para dois algarismos significativos obtemos
- Para
: os dois primeiros algarismos significativos são e (pois está na ordem de ), então arredondando a dois algarismos significativos obtemos
Nota rápida de interpretação: escrever
significa duas cifras significativas (6 e 2); escrever
significa
(duas cifras significativas).
Passo 6
Agora vamos aos métodos numéricos (item b). Primeiro defino o que eu entendo por erro relativo: para uma aproximação
de uma raiz real
, o erro relativo aproximado entre duas iterações consecutivas usa-se frequentemente
Esse será o critério de parada: parar quando esse valor ficar menor que
(ou seja
). Vou aplicar isto tanto à bissecção quanto ao método de Newton–Raphson. A função é
com derivada
Passo 7
Bissecção — escolha de intervalos:
- As duas raízes são negativas (produto
e soma indicam duas raízes negativas). Para a raiz menor em magnitude (próxima de zero) escolho o intervalo . Verifico o sinal: portanto há troca de sinal e há raiz no intervalo. - Para a raiz de maior módulo escolho
. Verifico: logo existe uma raiz no intervalo.
Vou executar iterações de bissecção até que o erro relativo entre dois midpoints consecutivos seja menor que
.
Passo 8
Bissecção — iterações para a raiz grande (intervalo inicial
):
Vou listar as midpoints e sinais de
e parar quando o comprimento do intervalo for suficientemente pequeno para garantir o erro relativo pedido (a análise do número de iterações também ajuda):
-
, . . → nova faixa . -
. → nova faixa . -
. → nova faixa . -
. → nova faixa . -
. → nova faixa . -
. → nova faixa .
Após 6 iterações o comprimento do intervalo é
Uma aproximação pela bissecção é o midpoint
Para avaliar o erro relativo aproximado entre esta aproximação e uma iteração anterior poderíamos usar o comprimento do intervalo/2 como cota do erro absoluto: aqui o semicomprimento é
. Relativo à raiz (aprox
) isso dá cerca de
(ou
), que já é menor que
. Portanto a condição
já está satisfeita. Concluímos:
Passo 9
Bissecção — iterações para a raiz pequena (intervalo inicial
):
Vou fazer iterações até que o comprimento do intervalo seja tal que o erro relativo pedido seja alcançado. Como a raiz vale aproximadamente
, a tolerância absoluta equivalente ao erro relativo
será aproximadamente
, então precisamos reduzir o intervalo a algo como
de comprimento.
Iterações:
-
, → intervalo . -
, → intervalo . -
, → intervalo . -
, → intervalo . -
, → intervalo . -
, → intervalo . -
, → intervalo . -
, → intervalo .
Após a 8.ª iteração o comprimento do intervalo é
ou seja, o semicomprimento é
. Relativo à raiz (≈
) isso dá cerca de
(ou
), que é menor que
. Tomamos como aproximação o midpoint final:
Portanto, pelos critérios pedidos (erro relativo
), as aproximações pela bissecção são:
Passo 10
Newton–Raphson — fórmula e escolha de chutes iniciais:
- A fórmula iterativa é
com
e
.
- Escolho
para a raiz grande (porque sabemos que ela é cerca de ) e para a raiz pequena.
Critério de parada: o erro relativo aproximado entre iterações consecutivas deve ser menor que
.
Passo 11
Newton para a raiz grande, com
:
Calculo
e
:
Aplicando Newton:
Erro relativo aproximado entre
e
:
Já satisfaz o critério. Portanto Newton fornece em uma iteração:
Passo 12
Newton para a raiz pequena, com
:
Calculo
e
:
Primeira iteração:
Erro relativo entre
e
:
ainda maior que
, então precisamos de mais uma iteração.
Segunda iteração: calcule
e
. Aproximações numéricas:
Aplicando Newton:
Erro relativo entre
e
é da ordem de
, portanto muito menor que
. Logo Newton converge (em duas iterações) para
Passo 13
Resumo numérico dos métodos (valores aproximados obtidos):
-
(a) Fórmula de Bhaskara + arredondamento para dois algarismos significativos:
-
(b) Bissecção (critério de erro relativo
): Newton–Raphson (critério de erro relativo):
Passo 14
Comparação (item c) — cálculo do erro relativo entre cada aproximação e as raízes de referência dadas
,
.
A fórmula que uso é
A fórmula que uso é
Calculemos para cada método:
(a) Bhaskara (arredondado a 2 alg. sig.):
- Para
: . Assim - Para
: . Assim
(b) Bissecção:
- Para
: . Então - Para
: . Então
(b) Newton–Raphson:
- Para
: coincide (dentro das casas mostradas) com a referência dada, então o erro relativo é praticamente zero (da ordem ou menor conforme arredondamento). Usando as aproximações anteriores: - Para
: . Então
Interpretação resumida:
- A aproximação por Bhaskara arredondada a dois algarismos significativos é aceitável (erros relativos da ordem de
para a raiz grande e para a pequena), mas menos precisa que os métodos iterativos. - A bissecção atingiu o critério pedido (
) e deu resultados com erro relativo da ordem de (bem melhor que ). - Newton–Raphson foi muito eficiente: em duas iterações obteve a raiz pequena com erro praticamente zero (na precisão mostrada) e a raiz grande com erro relativo da ordem de
. Ou seja, Newton foi o método que deu a melhor precisão com menos iterações.
Resposta
(a)
(b) Bissecção:
Newton–Raphson:
Newton–Raphson:
(c) Erros relativos (comparando com
e
):
- Bhaskara (2 alg. sig.):
- Bissecção:
- Newton–Raphson: