Considere a equação x^{2}+62,10 x+1=0.
(a)Calcule as raízes desta equação por meio da fórmula de Sridhara-Bhaskara-Viéte utilizando o arredondamento para dois algarismos significativos.
(b) Calcule as raízes aproximadas dessa equação utilizando os métodos da bissecção e de Newton-Raphson, com precisão de 10^{-2}. Considere o erro relativo.
(c) Compare os resultados do item (a) e (b) utilizando o erro relativo considerando as seguintes raízes aproximadas: x_{1}=-0,01610723 e x_{2}=-62,08390, da equação.

Passo 1

O enunciado dá a equação quadrática
x^{2}+62,10\,x+1=0
e pede três coisas:
  • (a) Calcular as raízes usando a fórmula de Sridhara–Bhaskara–Viète (a fórmula quadrática), com arredondamento para dois algarismos significativos.
  • (b) Calcular as raízes aproximadas usando os métodos da bissecção e de Newton–Raphson, com precisão de 10^{-2} (critério pelo erro relativo).
  • (c) Comparar os resultados dos itens (a) e (b) com as seguintes raízes de referência fornecidas: x_{1}=-0,01610723,\qquad x_{2}=-62,08390.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Coeficientes: a=1, b=62,10, c=1.
  • Usar erro relativo para critérios de parada em (b) e para comparar em (c).
  • Em (a) é exigido arredondamento para dois algarismos significativos (vou interpretar como: apresentar as raízes finais arredondadas com dois algarismos significativos).
A resolução começará agora.

Passo 2

Relembrando a fórmula quadrática (Sridhara–Bhaskara): para a equação \,a x^{2}+b x+c=0, as raízes são
x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a},\qquad \Delta=b^{2}-4ac.
Explicando cada símbolo:
  • a é o coeficiente do termo quadrático (aqui a=1).
  • b é o coeficiente do termo linear (aqui b=62,10).
  • c é o termo constante (aqui c=1).
  • \Delta é o discriminante; se \Delta>0 há duas raízes reais distintas.
    Vou calcular \Delta, a raiz quadrada de \Delta e então as raízes. Em seguida mostro por que, numericamente, é melhor calcular a raiz de maior módulo com uma certa fórmula e obter a outra via Viète (para evitar cancelamento numérico).

Passo 3

Calcular o discriminante e sua raiz:
\Delta=b^{2}-4ac=(62,10)^{2}-4\cdot1\cdot1.
Calculemos b^{2}:
(62,10)^{2}=62{,}10\times62{,}10=3856{,}41.
Logo
\Delta=3856{,}41-4=3852{,}41.
Agora a raiz quadrada:
\sqrt{\Delta}=\sqrt{3852{,}41}\approx62{,}06779277\ldots
(Isto foi obtido por aproximação numérica; é o valor que será usado nas contas seguintes.)

Passo 4

Aplicando a fórmula direta temos as duas raízes (expondo a conta para ficar bem didático):
x_{1}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-62{,}10+62{,}06779277}{2}=\frac{-0{,}03220723}{2}=-0{,}016103615.
x_{2}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-62{,}10-62{,}06779277}{2}=\frac{-124{,}16779277}{2}=-62{,}083896385.
Observação numérica importante (problema clássico de cancelamento): ao calcular x_{1} com a expressão (-b+\sqrt{\Delta})/(2a) acontece subtração de dois números grandes e muito próximos, o que pode causar perda de dígitos significativos. Para evitar isso, usa-se a identidade de Viète: se x_{1} e x_{2} são raízes então x_{1}x_{2}=c/a. Assim, é mais estável computar a raiz de maior módulo diretamente pela versão da fórmula que usa o sinal que evita cancelamento e depois obter a outra por
x_{\text{pequena}}=\frac{c}{a\,x_{\text{grande}}}.
No nosso caso a raiz de maior módulo é aproximadamente -62{,}08. A forma numericamente estável para ela é
x_{2}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a},
e então
x_{1}=\frac{c}{a\,x_{2}}=\frac{1}{x_{2}}.
Iremos agora aplicar o arredondamento pedido.

Passo 5

Arredondamento para dois algarismos significativos (interpretação adotada: apresentar as raízes finais com dois algarismos significativos).
  • Para x_{2}\approx-62{,}083896385: os dois primeiros algarismos significativos são 6 e 2, portanto arredondando para dois algarismos significativos obtemos
x_{2}\approx-62.
  • Para x_{1}\approx-0{,}016103615: os dois primeiros algarismos significativos são 1 e 6 (pois x_{1} está na ordem de 10^{-2}), então arredondando a dois algarismos significativos obtemos
x_{1}\approx-0{,}016.
Nota rápida de interpretação: escrever -62 significa duas cifras significativas (6 e 2); escrever -0{,}016 significa 1{,}6\times10^{-2} (duas cifras significativas).

Passo 6

Agora vamos aos métodos numéricos (item b). Primeiro defino o que eu entendo por erro relativo: para uma aproximação x^{(k)} de uma raiz real \alpha, o erro relativo aproximado entre duas iterações consecutivas usa-se frequentemente
\text{erro relativo aproximado}=\frac{|x^{(k+1)}-x^{(k)}|}{|x^{(k+1)}|}.
Esse será o critério de parada: parar quando esse valor ficar menor que 10^{-2} (ou seja 1\%). Vou aplicar isto tanto à bissecção quanto ao método de Newton–Raphson. A função é
f(x)=x^{2}+62{,}10x+1,
com derivada
f'(x)=2x+62{,}10.

Passo 7

Bissecção — escolha de intervalos:
  • As duas raízes são negativas (produto c/a=1>0 e soma -b=-62{,}10<0 indicam duas raízes negativas). Para a raiz menor em magnitude (próxima de zero) escolho o intervalo [-0{,}05,\,0]. Verifico o sinal: f(0)=1>0,\qquad f(-0{,}05)=(-0{,}05)^{2}+62{,}10(-0{,}05)+1\approx0{,}0025-3{,}105+1=-2{,}1025<0,portanto há troca de sinal e há raiz no intervalo.
  • Para a raiz de maior módulo escolho [-100,\,-50]. Verifico: f(-100)=10000-6210+1=3791>0,\qquad f(-50)=2500-3105+1=-604<0,logo existe uma raiz no intervalo.
Vou executar iterações de bissecção até que o erro relativo entre dois midpoints consecutivos seja menor que 10^{-2}.

Passo 8

Bissecção — iterações para a raiz grande (intervalo inicial [-100,-50]):
Vou listar as midpoints e sinais de f e parar quando o comprimento do intervalo for suficientemente pequeno para garantir o erro relativo pedido (a análise do número de iterações também ajuda):
  1. a=-100, b=-50. m_{1}=-75. f(m_{1})>0 → nova faixa [-75,-50].
  2. m_{2}=-62{,}5. f(m_{2})>0 → nova faixa [-62{,}5,-50].
  3. m_{3}=-56{,}25. f(m_{3})<0 → nova faixa [-62{,}5,-56{,}25].
  4. m_{4}=-59{,}375. f(m_{4})<0 → nova faixa [-62{,}5,-59{,}375].
  5. m_{5}=-60{,}9375. f(m_{5})<0 → nova faixa [-62{,}5,-60{,}9375].
  6. m_{6}=-61{,}71875. f(m_{6})<0 → nova faixa [-62{,}5,-61{,}71875].
Após 6 iterações o comprimento do intervalo é
|-62{,}5-(-61{,}71875)|=0{,}78125.
Uma aproximação pela bissecção é o midpoint
x_{\text{bis,grande}}=\frac{-62{,}5+-61{,}71875}{2}=-62{,}109375.
Para avaliar o erro relativo aproximado entre esta aproximação e uma iteração anterior poderíamos usar o comprimento do intervalo/2 como cota do erro absoluto: aqui o semicomprimento é 0{,}390625. Relativo à raiz (aprox |x|\approx62) isso dá cerca de 0{,}390625/62\approx0{,}0063 (ou 0{,}63\%), que já é menor que 1\%. Portanto a condição \text{erro relativo}<10^{-2} já está satisfeita. Concluímos:
x_{\text{bis,grande}}\approx-62{,}109375.

Passo 9

Bissecção — iterações para a raiz pequena (intervalo inicial [-0{,}05,0]):
Vou fazer iterações até que o comprimento do intervalo seja tal que o erro relativo pedido seja alcançado. Como a raiz vale aproximadamente -0{,}0161, a tolerância absoluta equivalente ao erro relativo 10^{-2} será aproximadamente 0{,}01\times0{,}0161\approx1{,}6\times10^{-4}, então precisamos reduzir o intervalo a algo como 2\times1{,}6\times10^{-4}\approx3{,}2\times10^{-4} de comprimento.
Iterações:
  1. m_{1}=-0{,}025, f(m_{1})<0 → intervalo [-0{,}025,0].
  2. m_{2}=-0{,}0125, f(m_{2})>0 → intervalo [-0{,}025,-0{,}0125].
  3. m_{3}=-0{,}01875, f(m_{3})<0 → intervalo [-0{,}01875,-0{,}0125].
  4. m_{4}=-0{,}015625, f(m_{4})>0 → intervalo [-0{,}01875,-0{,}015625].
  5. m_{5}=-0{,}0171875, f(m_{5})<0 → intervalo [-0{,}0171875,-0{,}015625].
  6. m_{6}=-0{,}01640625, f(m_{6})<0 → intervalo [-0{,}01640625,-0{,}015625].
  7. m_{7}=-0{,}016015625, f(m_{7})>0 → intervalo [-0{,}01640625,-0{,}016015625].
  8. m_{8}=-0{,}0162109375, f(m_{8})<0 → intervalo [-0{,}0162109375,-0{,}016015625].
Após a 8.ª iteração o comprimento do intervalo é
|-0{,}0162109375-(-0{,}016015625)|=0{,}0001953125,
ou seja, o semicomprimento é 9{,}765625\times10^{-5}. Relativo à raiz (≈ 0{,}0161) isso dá cerca de 9{,}77\times10^{-5}/0{,}0161\approx6{,}07\times10^{-3} (ou 0{,}607\%), que é menor que 1\%. Tomamos como aproximação o midpoint final:
x_{\text{bis,pequena}}=\frac{-0{,}0162109375+-0{,}016015625}{2}=-0{,}01611328125.
Portanto, pelos critérios pedidos (erro relativo <10^{-2}), as aproximações pela bissecção são:
x_{\text{bis,pequena}}\approx-0{,}01611328125,\qquad x_{\text{bis,grande}}\approx-62{,}109375.

Passo 10

Newton–Raphson — fórmula e escolha de chutes iniciais:
  • A fórmula iterativa é
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})},
com f(x)=x^{2}+62{,}10x+1 e f'(x)=2x+62{,}10.
  • Escolho x_{0}=-62 para a raiz grande (porque sabemos que ela é cerca de -62) e x_{0}=-0{,}02 para a raiz pequena.
Critério de parada: o erro relativo aproximado entre iterações consecutivas deve ser menor que 10^{-2}.

Passo 11

Newton para a raiz grande, com x_{0}=-62:
Calculo f(-62) e f'(-62):
f(-62)=(-62)^{2}+62{,}10(-62)+1=3844-3850{,}2+1=-5{,}2,
f'(-62)=2(-62)+62{,}10=-124+62{,}10=-61{,}90.
Aplicando Newton:
x_{1}=-62-\frac{-5{,}2}{-61{,}90}=-62-\frac{5{,}2}{61{,}90}\approx-62-0{,}083998\approx-62{,}083998.
Erro relativo aproximado entre x_{1} e x_{0}:
\frac{|x_{1}-x_{0}|}{|x_{1}|}=\frac{0{,}083998}{62{,}083998}\approx1{,}35\times10^{-3}<10^{-2}.
Já satisfaz o critério. Portanto Newton fornece em uma iteração:
x_{\text{Newt,grande}}\approx-62{,}083998.

Passo 12

Newton para a raiz pequena, com x_{0}=-0{,}02:
Calculo f(-0{,}02) e f'(-0{,}02):
f(-0{,}02)=(-0{,}02)^{2}+62{,}10(-0{,}02)+1=0{,}0004-1{,}242+1=-0{,}2416,
f'(-0{,}02)=2(-0{,}02)+62{,}10=-0{,}04+62{,}10=62{,}06.
Primeira iteração:
x_{1}=-0{,}02-\frac{-0{,}2416}{62{,}06}=-0{,}02+\frac{0{,}2416}{62{,}06}\approx-0{,}02+0{,}003893\approx-0{,}016107.
Erro relativo entre x_{1} e x_{0}:
\frac{|x_{1}-x_{0}|}{|x_{1}|}\approx\frac{0{,}003893}{0{,}016107}\approx0{,}2417
ainda maior que 10^{-2}, então precisamos de mais uma iteração.
Segunda iteração: calcule f(-0{,}016107) e f'(-0{,}016107). Aproximações numéricas:
x_{1}\approx-0{,}016107,\qquad f(x_{1})\approx1{,}47\times10^{-5},\qquad f'(x_{1})\approx62{,}0678.
Aplicando Newton:
x_{2}=x_{1}-\frac{f(x_{1})}{f'(x_{1})}\approx-0{,}016107-\frac{1{,}47\times10^{-5}}{62{,}0678}\approx-0{,}01610723.
Erro relativo entre x_{2} e x_{1} é da ordem de 10^{-5}, portanto muito menor que 10^{-2}. Logo Newton converge (em duas iterações) para
x_{\text{Newt,pequena}}\approx-0{,}01610723.

Passo 13

Resumo numérico dos métodos (valores aproximados obtidos):
  • (a) Fórmula de Bhaskara + arredondamento para dois algarismos significativos:
    x_{1}\approx-0{,}016,\qquad x_{2}\approx-62.
  • (b) Bissecção (critério de erro relativo 10^{-2}):
    x_{\text{bis,pequena}}\approx-0{,}01611328125,\qquad x_{\text{bis,grande}}\approx-62{,}109375.
    Newton–Raphson (critério de erro relativo 10^{-2}):
    x_{\text{Newt,pequena}}\approx-0{,}01610723,\qquad x_{\text{Newt,grande}}\approx-62{,}083998.

Passo 14

Comparação (item c) — cálculo do erro relativo entre cada aproximação e as raízes de referência dadas
\;x_{1}^{\text{ref}}=-0{,}01610723, \;x_{2}^{\text{ref}}=-62{,}08390.
A fórmula que uso é
\text{erro relativo}=\frac{|x_{\text{aprox}}-x_{\text{ref}}|}{|x_{\text{ref}}|}.
Calculemos para cada método:
(a) Bhaskara (arredondado a 2 alg. sig.):
  • Para x_{1}: |-0{,}016 - (-0{,}01610723)|=0{,}00010723. Assim \text{erro relativo}_{x_{1}}=\frac{0{,}00010723}{0{,}01610723}\approx6{,}66\times10^{-3}\quad(\approx0{,}666\%).
  • Para x_{2}: |-62 -(-62{,}08390)|=0{,}08390. Assim \text{erro relativo}_{x_{2}}=\frac{0{,}08390}{62{,}08390}\approx1{,}35\times10^{-3}\quad(\approx0{,}135\%).
(b) Bissecção:
  • Para x_{1}: |-0{,}01611328125-(-0{,}01610723)|\approx6{,}051\times10^{-6}. Então \text{erro relativo}_{x_{1}}\approx\frac{6{,}051\times10^{-6}}{0{,}01610723}\approx3{,}76\times10^{-4}\quad(\approx0{,}0376\%).
  • Para x_{2}: |-62{,}109375-(-62{,}08390)|\approx0{,}025475. Então \text{erro relativo}_{x_{2}}\approx\frac{0{,}025475}{62{,}08390}\approx4{,}11\times10^{-4}\quad(\approx0{,}0411\%).
(b) Newton–Raphson:
  • Para x_{1}: x_{\text{Newt,pequena}}=-0{,}01610723 coincide (dentro das casas mostradas) com a referência dada, então o erro relativo é praticamente zero (da ordem 10^{-8} ou menor conforme arredondamento). Usando as aproximações anteriores: \text{erro relativo}_{x_{1}}\approx0.
  • Para x_{2}: |-62{,}083998-(-62{,}08390)|\approx9{,}8\times10^{-5}. Então \text{erro relativo}_{x_{2}}\approx\frac{9{,}8\times10^{-5}}{62{,}08390}\approx1{,}58\times10^{-6}\quad(\approx0{,}000158\%).
Interpretação resumida:
  • A aproximação por Bhaskara arredondada a dois algarismos significativos é aceitável (erros relativos da ordem de 10^{-3} para a raiz grande e 10^{-3} para a pequena), mas menos precisa que os métodos iterativos.
  • A bissecção atingiu o critério pedido ( <1\%) e deu resultados com erro relativo da ordem de 10^{-4} (bem melhor que 1\%).
  • Newton–Raphson foi muito eficiente: em duas iterações obteve a raiz pequena com erro praticamente zero (na precisão mostrada) e a raiz grande com erro relativo da ordem de 10^{-6}. Ou seja, Newton foi o método que deu a melhor precisão com menos iterações.

Resposta

(a) x_{1}\approx-0{,}016,\qquad x_{2}\approx-62.
(b) Bissecção: x_{1}\approx-0{,}01611328125,\qquad x_{2}\approx-62{,}109375.
Newton–Raphson: x_{1}\approx-0{,}01610723,\qquad x_{2}\approx-62{,}083998.
(c) Erros relativos (comparando com x_{1}^{\text{ref}}=-0{,}01610723 e x_{2}^{\text{ref}}=-62{,}08390):
  • Bhaskara (2 alg. sig.): \text{erro relativo}_{x_{1}}\approx6{,}66\times10^{-3},\quad \text{erro relativo}_{x_{2}}\approx1{,}35\times10^{-3}.
  • Bissecção: \text{erro relativo}_{x_{1}}\approx3{,}76\times10^{-4},\quad \text{erro relativo}_{x_{2}}\approx4{,}11\times10^{-4}.
  • Newton–Raphson: \text{erro relativo}_{x_{1}}\approx0,\quad \text{erro relativo}_{x_{2}}\approx1{,}58\times10^{-6}.

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