Mostre que se a matriz de coeficientes é estritamente diagonal dominante, o critério de Sassenfeld é satisfeito, i.e., , em que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se a matriz de coeficientes A é estritamente diagonal dominante, então os números de Sassenfeld betai satisfazem betai<1 para todo i=1,dots,n. Vamos usar a definição de dominância diagonal estrita e a definição recursiva de betai, aplicando o princípio de indução.
Passo 2
Como primeiro caso, para i=1 temos
beta1=sumj=2^n|a1ja11|
Pela dominância diagonal estrita em linha 1, |a11|>sumj=2^n|a1j|. Dividindo ambos os lados por |a11|>0, vem
beta1=sumj=2^n|a1j||a11|<1
Passo 3
Agora, suponha indutivamente que betak<1 para todo k. Então para i qualquer,
betai=sumj=1^i-1|aijaii|betaj+sumj=i+1^n|aijaii|
Como cada betaj<1 para j, segue
betai
Passo 4
Mas pela dominância diagonal estrita em linha i temos |aii|>sumjneq i|aij|, logo
betai<1
Isso fecha o passo indutivo e mostra que betai<1 para todo i=1,dots,n.
Resposta
Como a matriz é estritamente diagonal dominante, segue por indução que betai<1 para todo i, satisfazendo o critério de Sassenfeld.