Dado o sistema linear
10 x1+x2-x3 & =10 2 x1+10 x2+8 x3 & =20 7 x1+x2+10 x3 & =30
(a) Verificar a possibilidade de aplicação do método de Jacobi. Justifique.
(b) Se possível, resolvê-lo pelo método de Jacobi obtendo um resultado com erro relativo varepsilon<10^-2 na norma do máximo.

Passo 1

O sistema dado é
10x1+x2-x3=10, 2x1+10x2+8x3=20, 7x1+x2+10x3=30
O assunto aqui é métodos iterativos (Jacobi) para resolver sistemas lineares e vamos precisar verificar dominância diagonal e depois iterar até o erro relativo (na norma infty) ser menor que 10^-2.

Passo 2

Primeiro checamos se podemos garantir convergência por dominância diagonal. Olhando cada linha:
  • Linha 1: |10| > |1|+|-1| =2, ok.
  • Linha 2: |10| = |2|+|8| =10, não é estrita.
  • Linha 3: |10| > |7|+|1| =8, ok.
    Não há dominância estrita em todas as linhas, mas como todos os aii são não nulos ( 10), o método de Jacobi pode ser aplicado embora a convergência não seja garantida pelo teorema de dominância.

Passo 3

Escrevemos as fórmulas de iteração de Jacobi. Isolando cada xi na k+1-ésima iteração, obtemos:
x1^(k+1) = 10 - x2^(k) + x3^(k)10, x2^(k+1) = 20 - 2x1^(k) - 8x3^(k)10, x3^(k+1) = 30 - 7x1^(k) - x2^(k)10

Passo 4

Escolhemos o chute inicial x^(0)=(0,0,0) e aplicamos a iteração de Jacobi até que
|x^(k+1)-x^(k)|infty|x^(k+1)|infty<10^-2
Calculando as primeiras iterações (apenas valores principais):
  • x^(1)=(1,2,3)
  • x^(2)=(1.1,-0.6,2.1)
  • x^(3)=(1.27,0.1,2.29)
  • x^(4)=(1.219,-0.086,2.101)
  • x^(5)=(1.2187,0.0754,2.1553)
  • x^(6)=(1.20799,0.03202,2.13936)
  • x^(7)=(1.210734,0.046914,2.151205)
    No passo k=7 o erro relativo em norma infty ficou em torno de 6.9times10^-3<10^-2, então paramos aqui.

Passo 5

Checamos que no passo 7 a condição de parada foi satisfeita. Portanto, o valor aproximado da solução pelo método de Jacobi com erro relativo abaixo de 10^-2 (norma máximo) é obtido em k=7.

Resposta

(x1,x2,x3)approx(1.2107,,0.0469,,2.1512).

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