Dado o sistema linear
(a) Verificar a possibilidade de aplicação do método de Jacobi. Justifique.
(b) Se possível, resolvê-lo pelo método de Jacobi obtendo um resultado com erro relativo
na norma do máximo.
(b) Se possível, resolvê-lo pelo método de Jacobi obtendo um resultado com erro relativo
Passo 1
O sistema dado é
O assunto aqui é métodos iterativos (Jacobi) para resolver sistemas lineares e vamos precisar verificar dominância diagonal e depois iterar até o erro relativo (na norma
) ser menor que
.
Passo 2
Primeiro checamos se podemos garantir convergência por dominância diagonal. Olhando cada linha:
- Linha 1:
, ok. - Linha 2:
, não é estrita. - Linha 3:
, ok.
Não há dominância estrita em todas as linhas, mas como todos ossão não nulos ( ), o método de Jacobi pode ser aplicado embora a convergência não seja garantida pelo teorema de dominância.
Passo 3
Escrevemos as fórmulas de iteração de Jacobi. Isolando cada
na
-ésima iteração, obtemos:
Passo 4
Escolhemos o chute inicial
e aplicamos a iteração de Jacobi até que
Calculando as primeiras iterações (apenas valores principais):
-
-
-
-
-
-
-
No passoo erro relativo em norma ficou em torno de , então paramos aqui.
Passo 5
Checamos que no passo
a condição de parada foi satisfeita. Portanto, o valor aproximado da solução pelo método de Jacobi com erro relativo abaixo de
(norma máximo) é obtido em
.