Considere a equação diferencial ordinária, dada por:
\left\{\begin{array}{l} x y^{\prime}(x)-x^{2} y(x)-2=0 \\\ y(1)=3 \end{array} \quad \forall x \in[1,2]\right.
Fazendo h=0.1, determine a solução aproximada no ponto x=1.5, usando o método de Euler.

Passo 1

O enunciado dá a EDO
x\,y'(x)-x^{2}y(x)-2=0,\quad y(1)=3,
no intervalo [1,2] e pede y(1{,}5) aproximado pelo método de Euler com passo h=0,1. O conteúdo é aplicação do método de Euler em EDOs de primeira ordem.

Passo 2

Reescrevendo em forma padrão \;y'=f(x,y), temos
y' = x\,y + \frac{2}{x}.

Passo 3

O método de Euler constrói aproximações y_{n}\approx y(x_{n}) em malha x_{n}=1+n\,h por
y_{n+1}=y_{n}+h\,f(x_{n},y_{n}).

Passo 4

No ponto inicial x_{0}=1, y_{0}=3, calcula-se
f(1,3)=1\cdot3+\frac{2}{1}=5,
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y_{1}=3+0.1\cdot5=3.5,
em x_{1}=1.1.

Passo 5

Em x_{1}=1.1, y_{1}=3.5,
f(1.1,3.5)=1.1\cdot3.5+\frac{2}{1.1}\approx5.66818,
y_{2}=3.5+0.1\cdot5.66818\approx4.06682,
em x_{2}=1.2.
Em x_{2}=1.2, y_{2}\approx4.06682,
f(1.2,4.06682)=1.2\cdot4.06682+\frac{2}{1.2}\approx6.54685,
y_{3}=4.06682+0.1\cdot6.54685\approx4.72150,
em x_{3}=1.3.

Passo 6

Em x_{3}=1.3, y_{3}\approx4.72150,
f(1.3,4.72150)=1.3\cdot4.72150+\frac{2}{1.3}\approx7.67641,
y_{4}=4.72150+0.1\cdot7.67641\approx5.48914,
em x_{4}=1.4.
Em x_{4}=1.4, y_{4}\approx5.48914,
f(1.4,5.48914)=1.4\cdot5.48914+\frac{2}{1.4}\approx9.11337,
y_{5}=5.48914+0.1\cdot9.11337\approx6.40048,
em x_{5}=1.5.

Resposta

A aproximação de y(1{,}5) pelo método de Euler com h=0,1 é
y(1{,}5)\approx6.40048.

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