Utilize a Regra de 1 / 3 de Simpson Repetida para calcular numericamente a seguinte integral \int_{0}^{1} x^{2} e^{x} d x. Utilize h=0.1.

Passo 1

O enunciado pede a aproximação numérica da integral
\int_{0}^{1} x^{2} e^{x}\,dx
usando a Regra de 1/3 de Simpson repetida com passo h=0,1. O que vamos precisar é:
  • Dividir o intervalo [0,1] em n subintervalos de comprimento h.
  • Aplicar a fórmula composta de Simpson.
  • Calcular f(x_i)=x_i^2 e^{x_i} nos nós x_i.

Passo 2

A Regra de 1/3 de Simpson composta diz que, se n é par e
h=\frac{b-a}{n}, \quad x_i = a + i\,h,
então
\int_{a}^{b}f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\Bigl(f(x_{0})+f(x_{n}) +4\sum_{\substack{i=1\i\text{ ímpar}}}^{n-1}f(x_{i}) +2\sum_{\substack{i=2\i\text{ par}}}^{n-2}f(x_{i})\Bigr).

Passo 3

Aqui a=0, b=1 e h=0,1, logo
n=\frac{1-0}{0,1}=10,
que é par. Os nós são
x_i = 0,0;\;0,1;\;0,2;\;\dots;\;1,0, \quad i=0,1,2,\dots,10.

Passo 4

Calculamos f(x_i)=x_i^2 e^{x_i} e agrupamos as somas ímpares e pares (exceto os extremos):
\sum_{\substack{i=1\i\text{ ímpar}}}^{9}f(x_i) =0,01105+0,12149+0,41218+0,98674+1,99447 \approx3,52593,
\sum_{\substack{i=2\i\text{ par}}}^{8}f(x_i) =0,04886+0,23869+0,65596+1,42435 \approx2,36786.

Passo 5

Substituindo na fórmula de Simpson composta:
I\approx \frac{h}{3}\Bigl(f(x_0)+f(x_{10}) +4\cdot3,52593 +2\cdot2,36786\Bigr) = \frac{0,1}{3}\bigl(0+2,71828+14,10372+4,73572\bigr) \approx0,71859.

Resposta

A aproximação pela Regra de 1/3 de Simpson repetida com h=0,1 é
\boxed{0,71859}.

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