Considere a equação diferencial y^{\prime}=x+y, com condição inicial y(0)=1. Utilizando o método de Runge-Kutta de quarta ordem com passo h=0,1, estime o valor de y(0,1).
Obs.: Use arredondamento de quatro casas decimais para o resultado final.
a. 1,1102
b. 1,1050
c. nenhuma das alternativas
d. 1,1103
e. 1,1104

Passo 1

Temos o problema de valor inicial
y' = x + y,\quad y(0)=1
e queremos aproximar y(0,1) usando o método de Runge–Kutta de 4ª ordem com passo h=0,1.

Passo 2

Definimos os incrementos
k_1 = f(x_0,y_0) = x_0 + y_0 = 0 + 1 = 1.

Passo 3

Calculamos
k_2 = f\bigl(x_0+\tfrac{h}{2},\,y_0+\tfrac{h}{2}k_1\bigr) = f(0,05,\,1+0,05\cdot1) = 0,05 + 1,05 = 1,10,
k_3 = f\bigl(x_0+\tfrac{h}{2},\,y_0+\tfrac{h}{2}k_2\bigr) = f(0,05,\,1+0,05\cdot1,10) = 0,05 + 1,055 = 1,105,
k_4 = f(x_0+h,\,y_0 + h\,k_3) = f(0,1,\,1+0,1\cdot1,105) = 0,1 + 1,1105 = 1,2105.

Passo 4

Aplicamos a fórmula clássica de Runge–Kutta 4
y_1 = y_0 + \frac{h}{6}\bigl(k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4\bigr) = 1 + \frac{0,1}{6}\bigl(1 + 2\cdot1,10 + 2\cdot1,105 + 1,2105\bigr).
Somando dentro do parêntese:
1 + 2,20 + 2,21 + 1,2105 = 6,6205,
então
y_1 = 1 + \frac{0,1}{6}\cdot6,6205 = 1 + 0,1103416667 = 1,1103416667.

Passo 5

Arredondando para quatro casas decimais obtemos
y(0,1)\approx 1,1103.

Resposta

d. 1,1103

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