Um engenheiro deseja estimar a vazão de um rio usando a área sob a curva da função velocidade
v(x), onde x representa a largura transversal (em metros) e v(x) é a velocidade (em m/s). Os
dados coletados em intervalos regulares foram:
x(\mathrm{~m}) v(x)(\mathrm{m} / \mathrm{s})
0 2,0
2 2,4
4 3,1
6 3,8
8 3,6
10 3,0
12 2,2
Utilizando a regra 1 / 3 de Simpson Repetida, estime a área sob a curva entre x=0 e x=12.
Obs.: O resultado nal foi arredontado para uma casa decimal.
a. 35,5
b. 36,3
c. nenhuma das alternativas
d. 36,6
e. 36,0

Passo 1

O enunciado pede para estimar a vazão pelo cálculo da área sob a curva da função velocidade v(x) no intervalo de x=0 a x=12 usando a regra \tfrac{1}{3} de Simpson repetida. Vamos aplicar a fórmula de integração numérica de Simpson para dados em pontos igualmente espaçados.

Passo 2

Como os pontos estão a cada 2 m, temos
h = 2,\quad a=0,\quad b=12,\quad n = \frac{b-a}{h} = \frac{12-0}{2} = 6,
e n é par, portanto podemos usar a regra repetida:
\int_{0}^{12} v(x)\,\mathrm{d}x \approx \frac{h}{3}\Bigl[f_0 + f_n + 4\sum_{i\text{ ímpares}} f_i + 2\sum_{i\text{ pares},\,i\neq0,n} f_i\Bigr].í

Passo 3

Identificando os valores f_i = v(x_i) para i=0,1,\dots,6:
f_0 = 2{,}0,\; f_1 = 2{,}4,\; f_2 = 3{,}1,\; f_3 = 3{,}8,\; f_4 = 3{,}6,\; f_5 = 3{,}0,\; f_6 = 2{,}2.

Passo 4

Calculamos as somas ponderadas:
soma dos índices ímpares
S_{\text{ímpar}} = f_1 + f_3 + f_5 = 2{,}4 + 3{,}8 + 3{,}0 = 9{,}2,í
soma dos índices pares (excluindo i=0,6)
S_{\text{par}} = f_2 + f_4 = 3{,}1 + 3{,}6 = 6{,}7.

Passo 5

Substituindo na fórmula de Simpson:
\int_{0}^{12} v(x)\,\mathrm{d}x \approx \frac{2}{3}\bigl[f_0+f_6 +4S_{\text{ímpar}} +2S_{\text{par}}\bigr] = \frac{2}{3}\bigl[2{,}0 + 2{,}2 + 4\cdot9{,}2 + 2\cdot6{,}7\bigr].í
Dentro dos colchetes:
2{,}0+2{,}2 + 36{,}8 + 13{,}4 = 54{,}4,
logo
\int_{0}^{12} v(x)\,\mathrm{d}x \approx \frac{2}{3}\times 54{,}4 = 36{,}266\ldots
Arredondando para uma casa decimal, dá 36{,}3.

Resposta

b. 36,3

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