Um discente do curso de ciência e tecnologia está ajustando a velocidade v (em m/s) de um robô móvel para que ele complete um trajeto específico em exatamente 10 segundos. A equação que modela o tempo T(v) necessário para completar o trajeto é dada por:
T(v)=\frac{100}{v}+\ln (v)-10
O discente sabe que a solução da equação T(v)=0 está no intervalo [10,20]. Utilizando o método da bissecção, qual o valor do ponto médio, na terceira iteração do método, com base nesse intervalo inicial?
Obs.:Considere que T(v) pode ser avaliada numericamente, mas você não precisa resolver a equação, apenas aplique corretamente as iterações do método da bissecção.
a. 13,125
b. 12,75
c. nenhuma das alternativas
d. 12,5
(-) e. 13,75

Passo 1

O enunciado trata de encontrar a raiz da função
T(v) = \frac{100}{v} + \ln(v) - 10
no intervalo inicial [10,20] usando o método da bissecção. Vamos aplicar as iterações para determinar os subintervalos até a terceira iteração e, então, calcular o ponto médio dessa iteração.

Passo 2

Calculamos os sinais nos extremos do intervalo inicial:
T(10) = \frac{100}{10} + \ln(10) - 10 = 10 + \ln(10) - 10 = \ln(10)\approx 2{,}3026 > 0,
T(20) = \frac{100}{20} + \ln(20) - 10 = 5 + \ln(20) - 10 = \ln(20) - 5\approx -2{,}0043 < 0.
Como T(10)>0 e T(20)<0, o primeiro ponto médio é
m_1 = \frac{10 + 20}{2} = 15.
Avalia-se
T(15) = \frac{100}{15} + \ln(15) - 10 \approx 6{,}6667 + 2{,}7080 - 10 = -0{,}6253 < 0.
Portanto o subintervalo de convergência passa a ser [10,15], pois T(10)\cdot T(15)<0.

Passo 3

No segundo passo, tomamos
m_2 = \frac{10 + 15}{2} = 12{,}5,
e avaliamos
T(12{,}5) = \frac{100}{12{,}5} + \ln(12{,}5) - 10 \approx 8 + 2{,}5257 - 10 = 0{,}5257 > 0.
Como T(12{,}5)>0 e T(15)<0, o novo intervalo é [12{,}5,\,15].

Passo 4

A terceira iteração dá o ponto médio
m_3 = \frac{12{,}5 + 15}{2} = 13{,}75.

Resposta

A terceira iteração gera como ponto médio o valor 13{,}75, correspondente à alternativa e.

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