Você comprou um carro que deprecia de forma contínua do valor inicial à taxa de
ao ano. Determine quanto tempo será necessário para que o valor do bem atinja
do seu valor inicial.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que você comprou um carro que “encolhe” de valor continuamente a uma taxa de 5 % ao ano. A ideia é achar o tempo
em que ele vale só
do valor que tinha no começo. Isso é conteúdo de função exponencial de decaimento contínuo e uso de logaritmo natural. Vamos precisar:
- Modelar o valor como
. - Igualar
. - Usar logaritmo para isolar
.
Passo 2
Primeiro, entenda a modelagem. Quando a variação é contínua com taxa
ao ano, a fórmula é
Aqui
é o valor inicial do carro e
(5 % ao ano em forma decimal).
Passo 3
Agora impomos que
se torne
de
:
Podemos dividir os dois lados por
(ele não é zero), e sobra
Passo 4
Para tirar esse exponencial, aplicamos logaritmo natural nos dois lados. Lembre que
. Então
Isolando
:
Passo 5
Basta calcular numericamente. Como
, temos
Resposta
O carro levará aproximadamente 21,97 anos para valer
do valor inicial.