Você comprou um carro que deprecia de forma contínua do valor inicial à taxa de 5 % ao ano. Determine quanto tempo será necessário para que o valor do bem atinja 1 / 3 do seu valor inicial.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que você comprou um carro que “encolhe” de valor continuamente a uma taxa de 5 % ao ano. A ideia é achar o tempo em que ele vale só do valor que tinha no começo. Isso é conteúdo de função exponencial de decaimento contínuo e uso de logaritmo natural. Vamos precisar:
  1. Modelar o valor como .
  2. Igualar .
  3. Usar logaritmo para isolar .

Passo 2

Primeiro, entenda a modelagem. Quando a variação é contínua com taxa V(t) ;=; V0 ,e^-k,t, ao ano, a fórmula é
Aqui é o valor inicial do carro e (5 % ao ano em forma decimal).

Passo 3

Agora impomos que V0,e^-0,05,t ;=; V03, se torne e^-0,05,t ;=; 13, de :
Podemos dividir os dois lados por (ele não é zero), e sobra

Passo 4

Para tirar esse exponencial, aplicamos logaritmo natural nos dois lados. Lembre que -0,05,t ;=; ln!l(tfrac13r) ;;=;-,ln(3) . Então
t ;=; -,ln(1/3)0,05 ;=;ln(3)0,05,
Isolando :

Passo 5

Basta calcular numericamente. Como t ;=;1,09860,05 ;approx;21,972 anos , temos

Resposta

O carro levará aproximadamente 21,97 anos para valer do valor inicial.

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