Utilize o método de Newton-Raphson para aproximar a raiz da equação f(x)=0.
  • Realize duas interações, a partir do valor inicial fórnecido.
  • Apresente os resultados com quatro casas decimais.
  • Mostre os cálculos realizados em cada etapa (fórmula aplioada, valores de f\left(x_{n}\right) e f^{\prime}\left(x_{n}\right) ).
    (Função exponencial aplicadá) Considere o problemá de determinar quando a função exponencial iguala uma função linear: f(x)=e^{x}-3 x. Com derivada f^{\prime}(x), aplique o método com x_{0}=1 e calcule x_{1} e x_{2}.

Passo 1

O enunciado pede para usar o método de Newton–Raphson na função
f(x)=e^x-3x
com derivada
f'(x)=e^x-3
a partir de x_0=1 e obter x_1 e x_2 em duas iterações, apresentando os cálculos de f(x_n), f'(x_n) e aplicando
x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.

Passo 2

Cálculo de x_1:
x_0=1.
f(1)=e^1-3\cdot1=e-3\approx2,7183-3=-0,2817,
f'(1)=e^1-3=e-3\approx-0,2817.
Aplicando Newton:
x_1=1-\frac{-0,2817}{-0,2817}=1-1=0.0000.

Passo 3

Cálculo de x_2:
x_1=0.
f(0)=e^0-3\cdot0=1-0=1.0000,
f'(0)=e^0-3=1-3=-2.0000.
Aplicando Newton:
x_2=0-\frac{1,0000}{-2,0000}=0+0,5000=0.5000.

Resposta

x_1=0{,}0000
x_2=0{,}5000

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